调和级数的几个有趣应用及一个著名悬而未解的数学问题( 二 ) _小知识

如果三辆吉普车出发，则先一起走 1/5 箱油的距离，然后吉普车 C 分别给吉普车 A 和吉普车 B 倒入 1/5 箱油，此时吉普车 C 剩下 2/5 箱油，但吉普车 A,B 的油箱是满的，这就跟上一种情况相同。当吉普车 B 返回到吉普车 C 所在处时，吉普车 B 已经没油了，但他们有足够的油一起回到原处。此时，吉普车 A 行驶距离合计为 1+1/3+1/5 箱油。
同样地推理，四辆吉普车，可以行驶的最长距离为 1+1/3+1/5+1/7 箱油的距离，则只需 n 辆吉普车你就能穿越沙漠，沙漠的距离计为

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在这里，我们有一个新的级数，它也是调和级数(每一项都是等差级数的倒数)，当然也发散的

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事实上，这个级数的收敛性表明，通过使用这样转移油料大法，只要你有足够多的吉普车就可以穿过无穷大的沙漠(*￣︶￣) 。
▌与对数的联系

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早在14世纪，尼克尔·奥里斯姆已经证明调和级数发散，但知道的人不多。17世纪时，皮耶特罗·曼戈里、约翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部证明工作。
现在让我们回到奥里斯姆的证明，即调和级数的分散。这是通过

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来实现的，在得出这个不等式中就有与对数的联系。

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调和级数和对数之间的联系更加紧密。利用一点微积分知识更仔细地分析奥里斯姆的不等式，会发现 H(n) 与 n 的自然对数

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的发散速度一致。可以得到当 n 趋于无穷时，

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两者只相差一个常量值，通常用 γ 表示。

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这后来以瑞士著名数学家伦纳德·欧拉的名字命名为欧拉常数(又称欧拉-马歇罗尼常数) 。γ 值已计算大约为 0.577，但对 γ 的性质知之甚少。甚至不知道 γ 是有限小数或无限小数，但是分析表明如果它是一个有理数，那么它的分母位数将超过 10^242080 。如果你能解决这个著名悬而未解的问题，便也能立刻成为全世界的焦点。
【调和级数的几个有趣应用及一个著名悬而未解的数学问题】