世界上第一个证明π是无理数的方法—高中生也能理解 _无理数

前言本文给出一个高中生也能看懂的证明方法，由瑞典数学家约翰·海因里希·兰伯特在1761年给出。此方法利用三角函数的泰勒级数展开，巧妙的反复运用倒数技巧得到了tan x的连分数表示，然后证明了这个连分数是一个无理数。据信，这个也世界上第一个证明π是无理数的方法。此方法简洁易懂，即使从现在的观点来看，其思路也非常具有启发性。

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▲ 约翰·海因里希·兰伯特(图行二左三)
准备工作1）无理数和反证法
无理数是指不能写成分数的数。如果需要证明某个数是无理数，大多用反证法，即假设它可以表示成两个整数的比，然后推导出矛盾，以此证明假设不成立。
例如，如何证明lg3是无理数？可以先设 lg3 是有理数，于是有

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即

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两边同取n次幂

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得到

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这个等式显然不成立，因为其左边是一个偶数而右边是一个奇数，得到了矛盾的结果，因此lg3是有理数的假设不成立。附一中有几个练习，请试试。
2）连分数
连分数(Continued fraction)也叫繁分数，是形如下图的分数：

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其中a0、a1、a2……，b0、b1、b2……为实数或复数。连分数常用来逼近无理数，这也是最早研究连分数的动机，想将实数用“纯粹的数学”表示出来。连分数的相关理论在数学中有着重要作用，它是数论及线性方程研究中的一个重要工具，与概率论、级数递归、函数逼近、工程技术和计算机科学等也有联系。
连分数因大数学家欧拉而广为人知，欧拉证明了形如下图的、所有分子都是1、所有分母都是正整数的无限简单连分数均是无理数。

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实际上，上图中的无限连分数等于，其分母是121212……无限循环。欧拉利用连分数的这一无理性质证明了自然底数e是无理数，并且得到了e的无限连分数形式：

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从第二个2开始，其分母是211、411、611、811、1011…… 。兰伯特是欧拉在柏林科学院的同事，熟悉欧拉对连分数的研究和成果，他因此冒出一个好主意：将tanx写成连分数形式。
3）麦克劳林公式
麦克劳林公式是泰勒公式在x=0点的特殊形式。若f(x)在x=0处n阶连续可导，则下式成立：

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其中

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表示 n 阶导数且(0 <θ<1) 。因为y=sinx在x=0处具有任意阶导数，用麦克劳林公式在x=0处展开sinx，得到：

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同样展开cosx得到：

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证明过程第一步，兰伯特得到了tanx的连分数表示：

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第二步，兰伯特证明了，当x是除0之外的有理数时，tanx是无理数。所以tan(1/2)、tan(3/4)等都是无理数。

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第三步，因为tan(π/4)=1，1不是无理数，所以π/4不能写为分数形式，即不是有理数，从而证明π是无理数。
1）第一步，得到tanx的连分数表示
将sinx和cosx的展开式代入

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得到

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从红色分数线分子上提出一个x，