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由于
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所以有
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对红分数线上的分子加上红分数线的分母再减去红分数线的分母，得到
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调整下顺序
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去括号
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计算红框内的对应项，得到
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式中，蓝底色的两部分相同，因为
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所以有
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对红分数线上的分子统一提出-x2，得到
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再次使用倒数技巧得到
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再反复使用分子加减分母法，这次因为分母是1/3，为消去红分数线上的常数1，给分子加3倍的分母再减去3倍的分母得到
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整理得到
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如此反复计算下去，最终得到
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可以通过对比tanx和连分数的图形验证这一结果 。下图是取连分数第一层时的图形（蓝色）与tanx的图形（棕色）对比，两个图形在0点重合 。
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取连分数的第二层时，图形更加接近，如上图 。取越多的部分作图，就越逼近tanx的图形，证明这个连分数是正确的 。
2）第二步，证明 x 为有理数时 tanx 是无理数
设x是有理数，则x可以写为 u/v，其中u和v均为正整数，代入得到
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化简右边连分数，给分子分母同乘v，得到
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这个无限连分数，除了第一个分子是u，其它的分子都是u2 。分母则越来越大，也就是说，从某一处向后，分母会比分子大很多 。现在来证明这个无限连分数是无理数 。
根据u和v的不同，可能是55v或555v才比u2大，这里不防设5v比u2大2，那么从这一点向后，所有的分母都比分子至少大2 。
由
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得到
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那么下图中蓝色后面所有部分是大于0小于1的
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同样，如下图，从7v开始，之后的所有部分也是大于0小于1的 。
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如果上两图中的蓝色部分或者绿色部分是无理数，那么整个连分数就是无理数 。现在来证明从5v开始的蓝色无限连分数是无理数 。令蓝色部分等于B/A，有B/A<1，即A>B 。
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所以得到：
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再考虑7v向后的部分，整理上面的式子得到下式
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由于A、B、v、u都是整数，所以B5v-Au2也是一个整数，令其等于C 。
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