混种科学中的蝴蝶效应：初始条件的微小变动，导致未来的不可预测( 二 ) _小知识

太阳系的极限值如此之久的原因是，行星的运动在我们今天看来是完全可以预测的；在人类生命的时间尺度上，甚至整个天文学史中，它们都是可预测的。当我们计算数百年前或数百年后的行星位置时，我们的预测是可靠的。但任何关于 40 亿年前，即地球上刚刚出现生命的时候的行星位置说法，都是毫无意义的。
混沌的最后一个微妙之处与潜伏在其中的一种奇怪的秩序相关。混沌不是无形的（再次声明，不要理会这个词语的通常意义）。对于它底层结构的暗示表现在了玩具水轮的运动中，伴随着它永不停息的旋转和反向。尽管序列从不会完全重复，但它的总体特征保持不变。混沌拥有永远不会改变的品质，这是混沌的本质。

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▲ 爱德华·诺顿·洛伦茨（1917年5月23日－2008年4月16日），美国数学与气象学家。混沌理论之父，蝴蝶效应的发现者。
早在 20 世纪 60 年代初，当洛伦茨分析他的小模型时，就将混沌的本质具体化了。它呈现出一种怪异而又陌生的形状，而不是一个表面，也不是一个固体的体积。当时，现代计算机图形学尚未问世，将混沌可视化绝非易事。甚至洛伦茨在脑海里想到了它的样子之后，还在挣扎着想找到恰当的语言描述其独特的几何形状。他将其描述为“表面无限复杂”，今天我们把它称为“奇怪吸引子” 。
正如圆形是周期的形状，奇怪吸引子则是混沌的形状。奇怪吸引子存在于一个被称为“状态空间”的抽象的数学空间中，它的轴代表一个物理系统中的所有变量。洛伦茨方程涉及三个变量，所以奇怪吸引子存在的状态空间是三维的。对于水轮——洛伦茨方程的精确力学模拟，其中一个变量表示了轮子旋转的速度和方向，而另外两个变量则表现了水如何分布在轮子边缘的两个特定的特征。这些变量在任意瞬间的数值定义了状态空间中的一个点，对应于系统在任意时刻的频闪照片。
在下一时刻，随着轮子的旋转、水的流动及重新分配，状态会发生改变。从一个状态变化到另一个状态，系统伴随着自身的动力学特性而演化，由自己的动力推动前进。就像阿瑟·默里（Arthur Murray）舞蹈课中的图解，洛伦茨方程是决定下一步走向何处的规则。它们决定了状态空间中每个点上无限小的箭头的方向。无论转到了哪种状态，它必须遵循那一点的箭头方向，这将它立即带到了一个新的点上。随着那个瞬间的箭头方向，它会前进到下一点，以此类推。随着时间的推移和变量数值的变化，这个点穿越了状态空间，遵循着一个被称为“轨线”的连续路径，就像数学家头脑中的彗星在假想的空间中运行。这个想法的美丽之处在于，它将动力学特性转化成了几何学。混沌运动变成了我们可以看到的图像，一幅我们可以凝视、检查和研究的静态图像。
混沌是什么样的？轨线永远在状态空间中四处游荡，它永远不会闭合或交叉，因为混沌从不重复。洛伦茨可以证明，他的轨线永远被限制在一个特定的大球体内，所以它永远不会逃逸到无限空间中。轨线被困在这个球里，永远在球中无趣地四处游荡，它必须遵循一个非常复杂的路径。我们渴望把它描绘成一个由混乱的线段缠绕成的球体，杂乱无章，没有任何结构。

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但是洛伦茨原始的计算机图象表明，轨线以一种高度组织的方式运动，只运动到了可移动空间中的一小部分。事实上，它似乎被吸引到了一个特定的表面上——一个纤弱、微观的薄膜，更巧的是，其形状像一对蝴蝶的翅膀。轨线环绕在一只翅膀上，以螺旋形状离开中心。当它接近翅膀边缘时，它就会飞奔到另一只翅膀上，并再次开始以螺旋形状离开中心。轨线会在每只翅膀上画上不计其数的螺旋线，然后跳到另一只翅膀上，就像水轮在反向旋转之前沿着一个方向旋转的次数不可预测一样。
正当洛伦茨努力想搞明白计算机告诉他的意思时，他了解到了有些事情一定是错的。他知道轨线不可能被限制在一个表面上：这样就无法避免轨线出现交叉。蝴蝶的翅膀可能看起来像一个单一的表面，但它们实际上必须建立在无限层上，它们紧密堆积在一起，难以区分，像一层层的云母片。
这个无限复杂的表面——奇怪吸引子，包含了一种新的有序。虽然轨线的运动细节不可预测，但它总是停留在吸引子上，总是穿过相同的子状态。它有限的本领解释了混沌中隐藏的秩序，并解释了为什么它的本质永远不变。