数字真奇妙系列：道生一，一生二 _二进制

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本文作者刘瑞祥，[遇见数学] 感谢刘老师投稿支持！
先和大家聊聊一，然后再聊聊二。
一、了不起的一一是自然数的单位。经常有人问，零是不是自然数？答案是，你可以认为它是，也可以认为它不是。因为所谓“自然数”，按现代数学的观点，就是符合“皮亚诺公理”的数，这套公理说，要有一个自然数，每个自然数要有一个后继，不同的自然数的后继不一样……你可以把最开始的那个自然数定为 1 或者 0，这对后面的研究没有什么影响。如果怕产生歧义，那么你可以说明一下——“本书所讲自然数，包括（或者不包括）零” 。

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《数学原理》卷I,第1版,379页关于 1+1=2 定义
不要以为 1 很简单，罗素和怀特海的巨著《数学原理》里直到第 363 页才有了一个定义，而 1+1——就是小学算术里的 1+1，不是哥德巴赫猜想——则到了第 379 页才有了答案。我没有查到过这本巨著的中文版，是根据卢昌海的个人网站说的。即使在我们普通人能理解的范围里，1 的内容也很丰富，比如 1 是乘法的单位元，翻译一下就是任何数和 1 相乘结果不变。再比如，前面说的“后继”，就是指每个自然数后面有唯一的一个数，用“人话”来说就是每个自然数加上 1 就得到下一个自然数。
在解析几何里，一次方程是最简单的直线或者平面，也叫做线性方程。行列式、矩阵这些东西都和一次方程有着密切的联系，而微积分的基本思路就是以直代曲。
万丈高楼平地起，再伟大的事业也要从一开始，万里长征是一步步走出来的，不能一口吃成胖子。只是有人经常忘记这个道理，恨不得能一步登天。
二、和一密不可分的二老师们爱说“有一就有二——你这次忘写作业，下次就还会忘” 。事实上很多人也是第一次做了错事后又做了第二次，于是陷入泥潭不能自拔。
哲学上到底是应该“一分为二”还是“合二为一”是个问题。《易经》上说“无极生太极，太极生两仪”，于是有了万物。
两点确定一直线，这是最简单的几何公理。所谓公理，现代数学里指的是一种约定，或者说是对基本概念的定义。这条公理是说，如果有两个“东西 A”能决定另外一种“东西 B”，那不妨就把东西 A 看作是点，把东西 B 看作是直线。比如你可以把球队看作点，把比赛看作直线——你在计算 10 支球队能打多少场不同比赛的时候，是不是和计算 10 个点能形成多少直线的方法一样？至于点和球队的不同，从这条公理上是看不出来的。
牛顿力学里说到力必须有两个物体——受力物体和施力物体，而“惯性力”因为是假想出来的所以没有施力物体，爱因斯坦说引力和惯性力其实是一回事，于是诞生了广义相对论。
太阳系里只有一个中心，但从地球上看月球和太阳差不多大小，于是阴阳和谐。地球上既能看到日全食，又能看到日偏食和日环食，让人类足不出地球就能窥见不少秘密。

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▲ 电偶极子场强和电势示意图
单独一个点电荷产生的电场，场强和距离的平方成反比，电势和距离的一次方成反比，二者都是对电场的完整描述。单独的氢原子、氧原子不能稳定存在，必须达到两个才行。电偶极子——两个相距很近具有等量异号电荷的点电荷——对外产生的场强和距离的三次方成反比，为什么会比单独一个点电荷衰减得快？因为总电量为 0 嘛。推而广之，电四极子、电八极子产生的电场衰减更快，所以我们平常的物体只要总电量为 0，就对外界几乎不产生静电力，因为宏观物体都已经不知是电多少极子了。这保证了我们宇宙的正常运行。
三、数学上的二二在数学上的意义一言难尽。众所周知，曲线的一阶导数对应着切线斜率，二阶导数对应着凹凸性。二次方程、二次函数是初中数学的重点和难点，也是走向更高深数学的起点，比如二阶线性微分方程就和二次方程有着密切的联系。而圆锥曲线，也就是二次曲线，是行星天文学的基础。但早在古希腊时期，就有学者仔细研究了圆锥曲线，并将其系统化。阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》诞生的时候还没有坐标系和完备的数学符号，完全用纯文字的方式清晰地叙述各个命题，单凭这一点就让人佩服。据说古希腊语特别严谨，单是定冠词就有 20 多个，这是不是古希腊产生复杂数学、哲学体系的原因呢？这本书的成就一直到笛卡尔时代才被超过。数学上关于二的最高成就也许是高斯创造的，他在经典著作《算术探索》里仔细研究了二次同余方程和二次不定方程。