浅谈数学文化费尔马大定理及其证明

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近代数学如参天大树,已是分支众多,枝繁叶茂 。在这棵苍劲的大树上悬挂着不胜其数的数学难题 。其中最耀眼夺目的是四色地图问题、费尔马大定理和哥德巴赫猜想 。它们被称为近代三大数学难题 。
300多年以来,费尔马大定理使世界上许多著名数学家殚精竭虑,有的甚至耗尽了毕生精力 。费尔马大定理神秘的面纱终于在1995年揭开,被43岁的英国数学家维尔斯一举证明 。这被认为是“20世纪最重大的数学成就” 。
费尔马大定理的由来
故事涉及到两位相隔1400年的数学家,一位是古希腊的丢番图,一位是法国的费尔马 。丢番图活动于公元250年前后 。
1637年,30来岁的费尔马在读丢番图的名著《算术》的法文译本时,他在书中关于不定方程 x^2+ y^2 =z^2 的全部正整数解这页的空白处用拉丁文写道:“任何一个数的立方,不能分成两个数的立方之和;任何一个数的四次方,不能分成两个数的四次方之和,一般来说,不可能将一个高于二次的幂分成两个同次的幂之和 。我已发现了这个断语的美妙证法,可惜这里的空白地方太小,写不下 。”
费尔马去世后,人们在整理他的遗物时发现了这段写在书眉上的话 。1670年,他的儿子发表了费尔马的这一部分页端笔记,大家才知道这一问题 。后来,人们就把这一论断称为费尔马大定理 。用数学语言来表达就是:形如x^n+y^n=z^n的方程,当n大于2时没有正整数解 。
费尔马是一位业余数学爱好者,被誉为“业余数学家之王” 。1601年,他出生在法国南部图卢兹附近一位皮革商人的家庭 。童年时期是在家里受的教育 。长大以后,父亲送他在大学学法律,毕业后当了一名律师 。从1648年起,担任图卢兹市议会议员 。
他酷爱数学,把自己所有的业余时间都用于研究数学和物理 。由于他思维敏捷,记忆力强,又具备研究数学所必须的顽强精神,所以,获得了丰硕的成果,使他跻身于17世纪大数学家之列 。
艰难的探索
起初,数学家想重新找到费尔马没有写出来的那个“美妙证法”,但是谁也没有成功 。著名数学家欧拉用无限下推法证明了方程 x^3+y^3=z^3和x^4+y^4=z^4不可能有正整数解 。
因为任何一个大于2的整数,如果不是4的倍数,就一定是某一奇素数或它的倍数 。因此,只要能证明n=4以及n是任一奇素数时,方程都没有正整数解,费尔马大定理就完全证明了 。n=4的情形已经证明过,所以,问题就集中在证明n等于奇素数的情形了 。
在欧拉证明了 n= 3,n= 4以后,1823年和 1826年勒让德和狄利克雷各自独立证明了 n= 5的情形,1839年拉梅证明了 n= 7的情形 。就这样,一个一个奇素数证下去的长征便开始了 。
其中,德国数学家库默尔作出了重要贡献 。他用近世代数的方法,引入了自己发明的“理想数”和“分圆数”的概念,指出费尔马大定理只可能在n等于某些叫非正则素数的值时,才有可能不正确,所以只需对这些数进行研究 。这样的数,在100以内,只有37、59、67三个 。他还具体证明了当 n= 37、59、67时,方程x^n+y^n=z^n是不可能有正整数解的 。这就把费尔马大定理一下推进到n在100以内都是成立的 。库默尔“成批地”证明了定理的成立,人们视之为一次重大突破 。1857年,他获得巴黎科学院的金质奖章 。
这一“长征”式的证法,虽然不断地刷新着记录,如 1992年更进到n=1000000,但这不等于定理被证明 。看来,需要另辟蹊径 。
10万马克奖给谁
从费尔马时代起,巴黎科学院曾先后两次提供奖章和奖金,奖励证明费尔马大定理的人,布鲁塞尔科学院也悬赏重金,但都无结果 。1908年,德国数学家佛尔夫斯克尔逝世的时候,将他的10万马克赠给了德国哥庭根科学会,作为费尔马大定理的解答奖金 。
哥庭根科学会宣布,奖金在100年内有效 。哥庭根科学会不负责审查稿件 。
10万马克在当时是一笔很大的财富,而费尔马大定理又是小学生都能听懂题意的问题 。于是,不仅专搞数学这一行的人,就连很多工程师、牧师、教师、学生、银行职员、政府官吏和一般市民,都在钻研这个问题 。在很短时间内,各种刊物公布的证明就有上千个之多 。