数学趣事：从一到无穷大，无穷大存在吗？无穷的符号怎么写( 三 ) _数学启蒙

另一种类型的无穷出现在引力理论和宇宙学。爱因斯坦的广义相对论表明，膨胀的宇宙（如我们所观察到的）在有限的过去开始之时，其密度是无限的，这就是我们所说的宇宙大爆炸。爱因斯坦的理论还预测，如果一个人掉进一个黑洞（在我们的银河系和附近有很多黑洞），他将在里面遇到一个无穷大的密度。这些无穷大，如果它们确实存在，将是实际无穷大。
　

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人们对这些无穷大的态度是不同的。来自粒子物理并对弦理论关于宇宙起源有兴趣的宇宙学家会倾向于认为，这些无穷大都不是真正的，它们只是我们的理论不完善的附产品。还有其他人，彭罗斯（Roger Penrose）是其中之一，他们认为宇宙起源的无穷大在物理结构中起着非常重要的作用。但是，即使这些无穷大不是真正的无穷大，但密度仍然令人惊奇的高：比水的密度大10的96次方倍。在实际应用中，如此高的密度，以至于我们需要一个量子理论来描述空间、时间和引力特征的影响，了解在那里发生的事情。
如果认为我们的宇宙最终会停止膨胀并收缩到另一个无穷大，很奇怪的事情也许会发生，这就是一个大紧缩。大紧缩可能是不同步的，因为宇宙有星系，其密度比其他地方大。高密度区域在低密度地区前进入未来的无限大。如果我们处于宇宙中某个小地方，它大大推迟未来无穷大的到来，或甚至不会到来，那么我们可以回头看发生在其他地方的宇宙终止，这样我们就会看到一些无限。你也许会看到空间和时间即将在某个地方结束的证据。
但是你很难精确预测当实际无穷大在某处出现时你将看到什么。在我们的宇宙于瞬间形成的过程中，有一个令人纳闷的防御机制。对这些的一个简单解释是：在每个黑洞的中心有无穷大的密度出现，恰似宇宙终端的无穷大。但是黑洞围绕这个现象产生一个景象：甚至光也不能在它附近逃逸。因此我们孤立了，看不到在那些其密度看上去好像要趋向无穷大的地方究竟发生了什么。反过来，无穷大也不能影响我们。这些景象使我们免于那些密度无穷大的地方产生的后果，它们也阻止我们看到发生的现象，除非我们位于黑洞之内。
另一个问题是我们的宇宙在空间上是有限还是无限。我认为我们永远不知道。它或许是有穷大的，但其尺寸任意大。但对许多人而言，有限大宇宙的想法立刻带来宇宙之外是什么的问题。没有“之外”---宇宙就是存在之万物之集。要理解这点，让我们想想二维宇宙，因为它们更容易想象。如果捡一张A4尺寸的纸，我们知道它有边缘，故有限的宇宙怎么会没有边缘呢？但关键之处是这张纸是平整的。如果我们想想二维的弯曲表面，像球的表面那样，则球面的面积是有限的：你仅仅需要有限量的颜料将它上色。但如果你在它上面走动，与在纸上走不一样，你永远到不了边缘。因此，弯曲的空间可以是有限的，但没有边界或边缘。
要理解一个膨胀的二维宇宙，让我们首先想想一个无穷情形，其中平均而言无论走向何处，宇宙看上去都是一样的。那么无论你站在何处并向周围张望，看上去宇宙以你为中心向外膨胀，因为每一处都像是中心。对于有限的球面宇宙，把它想象成一只气球，并在表面上标上了星系。当你开始对气球充气时，星系开始彼此相向而退。无论你站在气球表面何处，你可看到当橡皮膨胀时，其他星系离你膨胀而去。膨胀中心不在曲面上，它处于另一维，在这个情形是第三维。因此我们的三维宇宙，假如它是有限的并正向弯曲，则其行为好像是一个想象的四维球体的三维表面。

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爱因斯坦告诉我们，空间的几何由它当中的物质的密度确定。这颇有点像橡胶蹦床：如果你把物质放在蹦床上，这使得曲率改变。如果空间有大量的物质，它会导致一个巨大的角距降低，使得空间合拢。因此，一个高密度的宇宙需要一个球形的几何形状和一个有限的体积。但是，如果你有相对较少的物质变形空间，你则得到一个负曲率的空间，形状像一个马鞍或炸薯片。这样的负曲率空间可以继续被拉伸和膨胀下去。一个低密度宇宙，如果它有一个简单的几何形状，将有无限的尺寸和体积。但是，如果它有一个更奇特的拓扑结构，像一个圆环面这样的，也可以有一个有限的体积。关于爱因斯坦的方程的奥秘之一是，它们会告诉你如何从物质分布推导出几何形状，但他的方程关于宇宙的拓扑结构却没说什么。也许更深入的量子引力理论可以对此说些什么。