数学趣事：从一到无穷大，无穷大存在吗？无穷的符号怎么写( 二 ) _数学启蒙

但是找到这个无限大的实数集并不是故事的结束。康托尔证明，你仍然可以找到越来越无限大的集合，一路向上直到永远，没有最大可能的无限集合。如果有人给你一个无穷集合A ，您可以构建一个更大的集合，不与A一一对应，该集合就是A的所有可能的子集全体。这永无止境的无穷之塔通向一个称为绝对无穷大的东西---无穷塔最末的那个遥不可及的顶峰。
在数学上，康托尔把无穷处理为实际的东西，而不是潜在的。你可以将它们相加，比如一个可数无穷大加上另一个可数无穷大结果也是可数无穷大。关于是否应该允许这样做在数学上可以大做文章。有些数学家认为，如果允许康托尔的超限量（它们被如此称作）进入数学，你可能在一些地方引进某种类型的细微矛盾。如果你将矛盾引入一个逻辑系统，那么最终你将能证明什么都是真的，那则会带来整个数学系统的崩溃。
这种担心导致有限主义或构造主义数学的诞生，它只允许数学对象通过有限次的逻辑论证步骤来构造。这样的数学就变成了有点像电脑那样做事，可以设置某些公理，仅仅通过有限步的逻辑步骤推导出的东西才被认为是真的。这意味着你不能把反证法（或排中律）作为证明的公理，反证法先假如结果不成立，然后推导出矛盾，这样原命题的结果必定成立。这个构造主义观点的19世纪支持者是荷兰数学家L.E.J.布劳威尔和德国数学家L. 克罗内克，外尔在20世纪对此也感兴趣了一段时间。有一些数学家们由于哲学和其他原因以这种方式定义数学，还有一些只是感兴趣于在这个限制的情形下到底可以证明些什么。
但一般而言，康托尔的想法已被接受，今天它们形成纯数学的一个分支。这导致一些哲学家，甚至一些神学家，重新考虑他们关于无穷的古老态度。因为有许多种类的无穷大，很清楚你不必把数学无穷的出现看成是对中世纪的神学家认为的神性的某种挑战。康托尔的想法实际上最先受到当代神学家的热情追捧，而不是数学家。
科学家们也开始区分数学的无穷和物理的无穷。在数学上，如果你说某物“存在” ，你的意思是，对于给定的一组特定规则，它并没有引入逻辑上的矛盾。不过，这并不意味着它可以坐在你的办公桌上，或在某个实处运行。独角兽不是逻辑上不可能的，但是，这并不意味着从生物的意义上它存在。当数学家证明了非欧几何存在时，他们只是发现了存在一个公理系统，允许他们不会走向自相矛盾。
所以，现代物理学中的无穷大已成为与数学上的无穷大互相独立。物理中无穷大有常见的一个领域是空气动力学或流体力学。例如，空气动力学中的波可能会变得非常陡峭及非线性，然后形成激波。在描述激波形成的方程中，一些量可能会变得无限大。但是，当这一切发生的时候，人们可能会认为它只是一个失败的模型。原因可能是忽略了摩擦或粘度，一旦把它们包含在方程中，速度梯度就会变成有限，尽管它可能仍然是非常陡峭的，但在现实中粘度确实可以小到几乎为0 。在大多数的科学领域，如果看到一个无穷大，人们通常会想当然地认为是由于模型不准确或不完整所致。
粒子物理中一直有一个更长时间未决及更微妙的问题。量子电动力学在整个科学中是最好的理论，关于宇宙它比我们知道的其他东西都有更准确的预测。然而，这些预测的获得也伴随了一个尴尬的问题：当做数值计算来验证实验观察的时候，人们似乎总是得到一个添加了额外有限位的无穷答案。如果减去无穷大，留下来的有限部分就是人们希望在实验室中看到的预测，并总是极其精确地匹配实验。除去无穷大的这个过程被称为重整化。许多著名的物理学家们发现它极不令人满意。他们认为这可能只是一个理论的可以改善的症状。

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同样的道理可以解释为什么弦理论在20世纪80年代创造了巨大的兴奋，导致大量的物理学家可以开始研究这一理论。这是粒子物理学家第一次发现了一个有限的理论，这些无穷大在该理论中没有出现。粒子物理的基本出发点是取代传统的观念：最基本的实体（例如光子或电子）应该是点状物体，通过空间和时间移动，所以在时空中被描绘。相反，弦理论认为最基本的实体是线或小圈，它们在移动时描绘出管道。当你有两个点状的粒子通过空间互动，就好像两条线相互打击，在相遇处形成一个尖角。图片中的尖角是所描绘的无穷之源。但是，如果你有两个小圈撞在了一起，这有点像一对裤子中的两条腿；然后又有来自另外两个小圈的相互作用，这像将另一对裤子缝到第一对上。你得到的是一个平稳过渡。这也是为什么弦理论如此吸引人的原因，它是粒子物理的第一个有限理论。