形式逻辑的数学原理(4)：命题

判断即有所断定，其语言形式谓之命题。形式逻辑与数理逻辑迄今都未从数学上定义命题，后者仅将命题谓之或真或假的陈述句。形式逻辑将命题分为简单命题与复合命题，并进而将复合命题分为联言命题、选言命题和假言命题。数理逻辑则仅将命题分为原子命题与复合命题，复合命题未作二阶分类。基于跨越形式逻辑与数理逻辑分界的考量，本帖尝试给出命题的通用数学定义，并期望该定义能够涵盖上述两种逻辑理论及其所有分类。设P为任意语句， L为构成P的符号集合且L中每一个元素都有定义，则满足下式的语句P称为命题：P={x,y,z|x∈™Q ， y∈L, z∈™J}式中， Q={∃,∀}且Q⊄L, J={∧, ∨, →, ↔, ﹁}且J⊄L,z∈™J=[(z∈J)∧(z∈J)⇏z∈x,y,z].由定义可见，任何命题都是量词集、连接词集、非量词-非连接词符号集的一个D积。令P的个体词为概念C ，则依据上述定义即可给出任意命题P的各阶分类：1）|x,y,z|=2时，P为简单命题；2）|x,y,z|=3时， P为复合命题；3）z={∧}时， P为联言命题；4）z={∨}时， P为选言命题；5）z={→}∨z={↔}时， P为假言命题；6）z={﹁} 时， P为否定命题；7）|C|=1时， P为单称命题；8）x=∃时， P为特称命题；9）x=∀时， P为全称命题。在特定语境下，全称量词经常被省略。但是这种省略只是一种修辞意义上的符号处理，它并不意味着量词可在实质意义上缺位。或许正因为量词的不可缺失性，数学才可被用于分析万事万物。