这个绝对值函数有没有极小值？极值不是最值

微信昵称为“苏”的读者朋友问到了下面的问题.

请问左老师，你觉得y=|x|算不算有极小值？

苏，

这个绝对值函数

y=|x|的图象是一个V字形，如下图.

你的问题是，函数

y=|x|是否在x=0处取得极小值？

要回答这个问题，就要找到评判的标准——

函数极值的定义

从图象中明显看出，在x=0附近都有f(x)>f(0).

根据定义，函数y=|x|在x=0处取得极小值f(0).

所以，用图象法来判断极值其实是最靠谱的.

那你会问我：本题可否使用导数法来判断极值呢？

答案是：不可以.

因为函数

y=|x|在x=0处不可导.

我写过函数的连续与可导，其中谈到函数（首先是连续）可导的条件是：左导数=右导数.

而对于这个绝对值函数y=|x|，左导数=-1；右导数=1，它们不相等.所以，

函数y=|x|在x=0处不可导.

既然不可导，当然也不可能求出该点的导数值了.

但是不可导的点也可能是极值点.

下面讲两个标准、四个注意.

对于可导函数，用导数法判断极值

中学教材里的题目，多数以可导函数为素材.所以，用导数法求极值是我们最通行的做法.

但是，对于可导函数f(x)，即使在某点处f"(x)=0，该点也可能不是极值点.比如f(x)=x^3，满足f"(0)=0，但0不是该函数的极值点.

注意1

：对于可导函数f(x)，f"(x0)=0是函数f(x)在点x0处取得极值的必要不充分条件.

上面所举的三次函数的例子就是证明.

注意2

：对于可导函数f(x)，f"(x0)=0，且在x0左侧与右侧，f"(x)的符号相反是函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件.

所以，我们在求出导函数的零点之后，一定要判断在该零点的左右两侧，导函数的符号是否发生改变.

对于不可导函数，用图象法判断极值

其实，图象法判断极值的方法适应面非常广.

只不过因为不可导函数不能用导数法，就只能依靠图象法了.

图象法比较直观，不必多说.

要多说几句的是：不可导点可能是极值点，也可能不是极值点.

比如，下面两个栗子.

y=|x|在x=0处不可导，但x=0是极小值点；

y=x|x|在x=0处不可导，在x=0处也取不到极值.

下面总结注意3和注意4.

注意3

：不可导点可能是极值点，也可能不是极值点.

注意4

：对于可导未知的函数f(x)，f"(x0)=0是函数f(x)在点x0处取得极值的既不充分也不必要条件.

祝开心.

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