意义|无理数的哲学意义( 五 ) 柏拉图|胡塞尔|克莱因|意义

[10] 也许这样一个虽查无实据但流传甚广的判断可聊资佐证，“不知道正方形的边与对角线是不可公度的人，实在枉费生而为人”。
[11] 详见，柏拉图：“国家篇”，载于《柏拉图全集》第2卷，王晓朝译，北京：人民出版社，2003年，第522-525页。
[12] 以上参见，“智者篇”，载于《柏拉图全集》第三卷，王晓朝译，北京：人民出版社，2003年，第30页以下，尤见第30页、第33页、第36页、第46页、第49页、第50页。
[13] 亚里士多德显然也明确地认识到这样的结果。根据J. 克莱因的考证，亚里士多德在讨论数字时总是不厌其烦地强调柏拉图与毕达哥拉斯学派的不同，强调正是柏拉图让数字从感官对象中分离开来，从而作为一个单独的、只为理智所知的存在领域出现于感知事物旁边（参见，J. Klein, Greek MathematicalThought and the Origin of Algebra, p. 70）。但亚里士多德是否意识到无理数在其中所起的重大作用，笔者根据自己有限的阅读暂时还找不到文本上的证据。
[14] 柏拉图：《柏拉图全集》第二卷，第524页。
[15] “形数”是把数当作形体的构成要素的毕达哥拉斯学派的概念，“相数”是把数视为“型”、“相”或“艾多斯”的柏拉图的概念。关于这两个概念的详细介绍和评论，可参见，B. C. 霍普金斯：“重思数学哲学中的柏拉图主义源头——兼论亚里士多德对柏拉图相数理论的批评”，载于《南京大学学报》2014年第1期。
[16] 以下来源于J. 克莱因的精湛研究，分别参见，J. Klein, Greek MathematicalThought and the Origin of Algebra, p. 75；J. 克莱因：《柏拉图三部曲——、与，成官泯译，上海：华东师范大学出版社，2009年，第74页。
[17] 柏拉图的原话是：“这是令我感到震惊的地方，其中可能有点名堂”。参见，柏拉图：《柏拉图全集》第四卷，王晓朝译，北京：人民出版社，2003年，第51页。
[18] 根据J. 克莱因的考证，这样的“相数”在柏拉图眼里共有9个（参见，J. 克莱因：《柏拉图三部曲——、与，第75页）。需要补充的是，上述以数字“1”为起点的证明会引起我们的疑问：数字“1”是不是与形体紧密相联的“形数”？答案当然是否定的。关于这一问题的详细证明，可参见，柏拉图：“泰阿泰德篇”，载于《柏拉图全集》第二卷，第778-780页。
[19] E. Husserl, Philosophie derArithmetik, Husserliana Band 12, hrsg. von Lothar Eley, Den Haag: MartinusNijhoff, 1970, S. 20.
[20] 参见，同上书, S. 166.
[21] 同上书，S. 16.
[22] 同上。
[23] 同上书， S. 79. 用胡塞尔后来的话来说，各个表象的具体内容在意识中已被意指，且已以意向的方式被共现，只是没有以实项的方式体现在意识中罢了。这是胡塞尔的一个富有洞见的思想。也许正是在这里，胡塞尔认识到布伦塔诺的意向性理论的局限并开始对它进行改造。没有这种改造，对外感知和内时间意识的现象学描述是不可能实现的。
[24] 同上书, S. 49.
[25] 参见，同上书, S. 95.
[26] 同上书，S. 50-51.
[27] 同上书，S. 129.
[28] 同上书，S. 130-131.
[29] 同上书，S. 132.
[30] 因篇幅和主旨关系，具体的证明从略，可分别参见，同上书，S. 88-89, S. 434等。
[31] 同上书，S. 133.
[32] 同上书，S. 132.
[33] 同上书，S. 133.
[34] 同上书，S. 248.
[35] 参见，同上书，S. 24.
[36] 详见，同上书，S. 83，S. 240，S. 26，S. 42-43，S. 247.
[37] 胡塞尔在《算术哲学》中的用词，具有强烈的心理学色彩，大致相当于概念或含义的意思
[38] E. Husserl, Studien zur Arithmetikund Geometrie (1886-1901), Husserliana Band 21, hrsg. von IngeborgStrohmeyer, The Hague: Martinus Nijhoff Publishers, 1983, S. 249.