意义|无理数的哲学意义( 三 ) 柏拉图|胡塞尔|克莱因|意义

胡塞尔像很多学者一样认为，所谓计数，就是回答“多少”这个问题，这就意味着，数总是多，总是复数[26]，可这同时也意味着，0和1不是数，它们不能进入任何数的序列。胡塞尔对这一点十分清楚。他援引弗雷格反对将0和1并入数列的观点[27]，也指出康托尔和毕达哥拉斯都不把1当作数。他自己甚至承认，作为多的数都是肯定性的，把作为否定的0当作数引入这个数列，在逻辑上难以自圆其说[28]。尽管存在这些困难，胡塞尔还是提出了一个解决方案。他说，通过把1不断地加到1这个整体上，我们获得了一个自然数列；反过来，如果我们不断地将任何一个数减去1，那么我们最终会达到1和0[29]。
【 意义|无理数的哲学意义】这个方案虽然让我们达到了1和0，可是，它其实已经以我们把1和0理解为数作为自然数列出现的前提。显然，胡塞尔的辩护是以放弃“数即是多”这个定义为代价的。如果我们不再坚持这个定义，分数、负数、有理数和虚数等都可以得到说明[30]。
这种对基本定义的放弃，胡塞尔美其名曰“数字领域的扩展（Erweiterung des Zahlengebietes）”和“数的概念的改变（Aenderung des Zahlbegriffes）”[31]或“数的概念的扩展（Erweiterung des Zahlbegriffes）”[32]。胡塞尔还提醒我们，在扩展和改变之后，加减乘除的运算法则有时需要发生相应的变化，例如，0在加减乘特别是在除上的特殊计算方法以及1在乘除上的特殊注意事项等等[33]。
如果说上述突破了数的定义的各种数在理论上勉强自圆其说的话，那么，无理数的出现像是一根楔子，一旦让它嵌入到上述说明中，胡塞尔苦心孤诣地建立起来的看似完备的系统就会出现漏洞。
无理数被引入到数字系统里的方式完全不同于数学对负数、分数和虚数的引入。后者需要对计算规则进行必要的限制，而前者是对普遍有效的计算规则的直接采纳；后者不属于既有的数字系统及其有效领域，必须借助于某种计算形式被定义为新的数，而前者是基于广泛认可的数字序列和运算方式上的自然延伸。我们无需对“数字领域”或“数的概念”进行“扩展”或“改变”，从已有的前提可以直接推出这个既“无意义”又“不允许解释”（胡塞尔语[34]）的怪物。
无理数的这种不同之处，胡塞尔在《算术哲学》行文的开始处早已注意到了[35]，但他在随后的写作中似乎忘记了这一点，常常陷入下面这种相互对立的两难中。一方面，胡塞尔把无理数同有理数、虚数、负数等而视之，并尝试从点的稠密性、有理数列的无限接近性、形式的融贯性、算术技术的扩展特征以及证明的间接性等角度对无理数的出现及其合理性给予说明和辩护[36]，另一方面，由于数源于计数，源于对表象的抽象化过程，因此我们也可以反过来说，任何数都可以回到“符号表象”[37]乃至最终可以回到具体表象，按胡塞尔在《算术与几何学研究》中的说法，“计算的每一步骤，只要人们愿意，都可以立即转换成直观（或者转换成代表它的符号表象）”[38]。按照这个标准，无理数既不能被我们在直观，也没有明确的符号表象，它的存在还是个问题，胡塞尔说得很明确，“只要无理数没有特定的意义，只要我们还没有其概念，它对我们而言就是无，就是空洞的言词。当我们说，无理数是通过无限的有理数序列任意地接近而来的，这样的解释有什么意义”[39]？
如果胡塞尔回忆起无理数与其它类型的数的差异之处，那么，上面的两难就会汇聚为一个疑难：从哲学上说，在计数过程和运算规则不变的情况下，为什么从可理解和已存在的数列中会直接推出无法理解和不可能存在的无意义的数？如果运算规则在直观上无懈可击且被无数次地证明是正确的，那么问题可能出在计数过程上，准确地说，出在我们对计数过程的理解上。
胡塞尔是否也是这样考虑的，我们目前还查不到相关的文本依据，但这个问题是绕不过去的，也许正是这个原因让胡塞尔在《算术哲学》第一卷的“前言”中对他将在该书第二卷第一部分解决无理数问题的信心满满的预告落空[40]。