聚焦平行四边形存在性问题的解题策略平行四边形的存在性解题思路 _小知识

平行四边形作为特殊的四边形，一直是中考试题中的主角。动态平行四边形的存在性探究问题是数学中考中非常典型的一类开放性试题，经常出现在中考压轴题中。考生往往因为选择方法不得当而导致计算量偏大，或因分类情况不完整而导致漏解。为了帮助学生减轻学习负担，借助运用平行四边形对角线性质与判定，来探究平行四边形的存在性问题是一个很好的途径。
思路探究考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：（1）对应边平行且相等；（2）对角线互相平分．这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：（1）对边平行且相等可转化为：

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可以理解为点B移动到点A，点C移动到点D，移动路径完全相同．

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（2）对角线互相平分转化为：

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可以理解为AC的中点也是BD的中点．

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当AC和BD为对角线时，结果可简记为：A+C=B+D（各个点对应的横纵坐标相加）
以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A、B、C、D满足“A+C=B+D”，则四边形ABCD是否一定为平行四边形？
反例如下：

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之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．
虽有反例，但并不影响运用此结论解题，在抛物线条件下的平四存在性基本不会出现共线的情况．另外，还需注意对对角线的讨论：
（1）四边形ABCD是平行四边形：AC、BD一定是对角线．（2）以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．
题型分类平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题．
类型1 三定一动
引例：已知A（1，2）、B（5，3）、C（3，5），在坐标系内确定点D使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形．

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类型2 两定两动
引例：已知A（1，1）、B（3，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求C、D坐标．

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应用举例

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5．（2019?荆州中考题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，0），（4，3），经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．

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【解析】（1）由平行四边形OABC的性质求点B坐标，根据抛物线经过点B、C、D用待定系数法求解析式．
（2）由OE平分∠AOC易证得∠COE＝∠AOE＝∠OEC，故有CE＝OC，求得点E坐标，进而求得直线OE解析式．求抛物线对称轴为直线x＝7，即求得点F坐标．作点E关于x轴的对称点点E'，由于点P在x轴上运动，故有PE＝PE'，所以当点F、P、E'在同一直线上时，PE+PF＝PE'+PF＝FE'最小．用待定系数法求直线E'F解析式，即求得E'F与x轴交点P的坐标．
（3）设AH与OE相交于点G，且G的横坐标为t，即能用t表示OG、AG的长，由AH⊥OE于点G，根据勾股定理可得AG2+OG2＝OA2，把t代入解方程即求得t的值即求得点G坐标．待定系数法求直线AG解析式，令y＝3时求x的值即为点H坐标．故可得HE＝9﹣5＝4，且点H、E关于直线x＝7对称．由于以点M，N，H，E为顶点的平行四边形中，H、E固定，以HE为平行四边形的边或对角线进行分类讨论．①以HE为边时，可得MN∥HE，且MN＝HE，故可得点M横坐标为3或11，代入抛物线解析式即求得纵坐标．②以HE为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得点M在抛物线对称轴上，求顶点即可．
综上所述，点M坐标为（3，20/9）、（11，20/9）或（7，4）．

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反思总结“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．
从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．
找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质：（1）对边平行且相等；（2）对角线互相平分．但此两个性质统一成一个等式：

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两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．
解题策略：
1. 解析法：两直线平行，在斜率存在的情况下，可知两条直线的斜率k相等，再利用点斜式求出点M所在的两条直线的解析式，联立方程组即可求出点M的坐标；
2. 几何法：在平面直角坐标系中常用到的数学思想方法就是“化斜为正”，即过平面内一点做坐标轴的垂线. 本题可过M点作x轴的垂线段，利用全等三角形求解点M的坐标；
【聚焦平行四边形存在性问题的解题策略平行四边形的存在性解题思路】3. 平移法：利用平行四边形的图形特征，我们可以看做它是有其中一个顶点通过四次平移得到的图形。

聚焦平行四边形存在性问题的解题策略 平行四边形的存在性解题思路

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