【考试要求】
了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
【知识梳理】
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0:
(1)若a
(2)若a=c时,则集合P为两条射线;
(3)若a>c时,则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
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【规律方法】 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;
2.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|,|PF2|的联系.
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【规律方法】 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出关于参数a,b,c的方程并求出a,b,c的值.
2.与双曲线-=1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0).
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【规律方法】 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)求a,b,c的值,由==1+直接求e.
(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接变换转化求解.
【双曲线及其几何性质 双曲线的几何性质】(2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
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