复合函数与反函数 复合函数的反函数

一、复合函数
定义:设函数 z = f ( y ) 定义在数集 B ,函数 y = ψ ( x ) 定义在数集 A ,G 是 A 中使 y = ψ ( x ) ∈ B 的 x 的非空子集 (如图1),即
G = { x ∣ x ∈ A, ψ ( x ) ∈ B } ≠ ?。
对任意的 x ∈ G , 按照对应关系 ψ ,对应唯一一个 y ∈ B ,再按照对应关系 f ,对应唯一一个 z(如图1) ,即 对任意的 x ∈ G 都对应唯一一个 z。于是在 G 上定义了一个函数 ,表为 f ? ψ ,称为函数 y = ψ ( x ) 与 z = f ( y ) 的 复合函数 ,即
( f ? ψ) (x) = f [ ψ ( x ) ] , x ∈ G , y 称为中间变数(如图2)。
注:经常将函数 y = ψ ( x ) 与 z = f ( y ) 的复合函数表为 z = f [ ψ ( x ) ] , x ∈ G。

复合函数与反函数 复合函数的反函数

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图(1)
复合函数与反函数 复合函数的反函数

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图(2)
例题1、
复合函数与反函数 复合函数的反函数

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例题1图
例题2、(三个函数生成的复合函数 )设 u = √z , z = ln y , y = 2x + 3 , 则 u = √[ ln ( 2x + 3 )] , x ∈ [ -1 , + ∞ ]。
二、反函数
定义:设函数 y = f ( x ) 在数集 A 有定义 。
若 对任意的 x1 , x2 ∈ A ,有 x1 ≠ x2 推出 f ( x 1) ≠ f ( x 2) (或 f ( x 1) = f ( x 2) 推出 x1 = x2 ),则称函数 y = f ( x ) 在数集 A 一一对应
定义:设函数 y = f ( x ) 在数集 A 一一对应 ,即对任意的 y ∈ f ( A) 只有唯一一个 x ∈ A ,使 f ( x ) = y ,这是一个由 F ( A ) 到 A 的新的对应关系,称为函数 y = f ( x ) 的反函数 ,表示为
复合函数与反函数 复合函数的反函数

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反函数图
定理1、若函数 y = f ( x ) 在数集 A 严格增加 (严格减少),则函数 y = f ( x ) 存在反函数,且反函数 x = f^(-1)( y ) 也严格增加(严格减少) 。
反函数的性质:
1、单调函数必有反函数 。有反函数的函数不一定是单调函数,例如反比例函数 y = K/x ( K ≠ 0 ) ;
2、奇函数不一定有反函数,例如 y = sin x , y = x - 1/x ;当奇函数存在反函数时,反函数一定是奇函数 。
例如反比例函数 y = K/x ( K ≠ 0 ) 的反函数还是 y = K/x ( K ≠ 0 )。
3、偶函数不一定没有反函数,例如 y = 1 , x ∈ { 0 }。
反函数与原函数的关系:
1、反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域;
2、互为反函数的两个函数的图像关于直线 y = x 对称 ;
3、原函数若是奇函数,则其反函数为奇函数;
4、若函数是单调函数,则一定有反函数,且反函数的单调性与原函数的一致;
5、原函数与反函数的图像若有交点,则交点一定在直线 y = x 上或关于直线 y = x 对称出现。
原函数 y = f ( x ) 与 反函数 y = f^(-1)( x ) 的图像关于直线 y = x 对称
复合函数与反函数 复合函数的反函数

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对称图(1)
幂函数中原函数与反函数的图像关于直线 y = x 对称
复合函数与反函数 复合函数的反函数

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(2)
指数函数和对数函数互为反函数,图像关于直线 y = x 对称
复合函数与反函数 复合函数的反函数

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指数函数与对数函数图(1)
复合函数与反函数 复合函数的反函数

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指数函数与对数函数图(2)
复合函数与反函数 复合函数的反函数

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指数函数与对数函数图(3)
例题3、
复合函数与反函数 复合函数的反函数

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例题3图
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