数学|逻辑的极限与数学的困境，罗素用了362页才推导出1+1=2( 二 ) 机器

数学可以被定义为一个我们永远不知道自己在谈论什么，也不知道自己所说的是否正确的学科。

任何先验知识，无论它感觉如何不言而喻，都是被禁止的，人类的直觉在数学发展中应该没有一席之地。罗素的《数学原理》用了362页才推导出1+1=2 ，这并不奇怪。

《数学原理》第362页， 1+1=2得到了证明。

希尔伯特：不需要玩家的游戏
德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert 1862-1943）扩展了弗雷格和罗素的工作，提出了著名的希尔伯特方案，即数学的任何分支都可以被重新表述为一种形式理论，他提出以下3个问题是否存在正解：

一个形式理论，其中的公理不能产生矛盾，它的一致性能否在理论本身内得到证明？
形式理论能被证明是完备的吗，因为它包含了任何真正的数学陈述在它想要体现的特定分支中。
是否存在一个纯粹的机械过程，我称之为通用证明机制，来判定任何给定的数学命题的真假。这个问题在德语中被称为判定问题（Entscheidungsproblem）。

希尔伯特期望他所有问题的答案都是肯定的，这将完全消除直觉的必要性，使数学不再具有直觉性。在他对形式理论的乐观中隐含着他的实证主义，即所有数学问题都可以被解决的信念。他的名言

我们必须知道，我们将知道（Wir müssen wissen Wir werden wissen）

镌刻在他的坟墓上。希尔伯特和他的同事被称为“形式主义者” 。
希尔伯特认为，通过从一组一致的公理开始，一个形式理论可以是完整的，自我验证的。因为一个正式的理论不应该被人类解释，而是被机械地证明，所以它被称为一个正式的“系统” 。将这种系统称为“正式”意味着以前对同一主题的处理是“非正式的” 。关于他的欧几里得几何形式理论，希尔伯特曾经说过，与其谈论点、线、面，还不如谈论桌子、椅子和酒杯。

希尔伯特的“形式”数论

罗素认为数学是毫无意义的符号游戏，而希尔伯特则希望游戏本身能发挥作用。如果希尔伯特的宏伟愿景是正确的，一个正式的系统将总结过去，并确定数学的未来。具有讽刺意味的是，希伯特在这方面可能被自己的直觉误导了。
哥德尔：数学家的回归

库尔特·哥德尔

库尔特·哥德尔（1906-1978），奥地利裔美国逻辑学家。他在完备性定理中证明了一阶逻辑的符号规则覆盖了所有有效的逻辑推理，使希尔伯特程序看起来很有前途。然而，哥德尔的不完备性定理会破坏希尔伯特程序。他发现，有了后来以他的名字命名的编号方案，他可以把构成数字正式系统的数学表述表示为数字本身。这样，一个被认为可以证明数字事实的正式的数字系统，就可以证明关于它本身的事实。在哥德尔的编号下，一个正式的数字系统成为自我参照，如下所示：
此外，该理论还包括关于理论本身是否可证明的陈述。根据这一见解，哥德尔巧妙地构建了一个“说谎者悖论”的修改版本，如下所示：

哥德尔悖论

如果它是真的，那么它就不能在理论中被证明。如果它是假的，那么它说的一定是假的，这意味着它在理论中是可以证明的，因此它一定是真的。所以，我们有一个真正的数学命题，它既不能在理论中被证明也不能被否定。一个数学理论的正式系统，即使是像数论那样的初等系统，也只是一个近似值。
图灵：程序员的崛起
可计算的是什么？
即使我们满足于一个不完备的形式系统，是否存在一个通用证明机制来解决判定问题？在深入研究这个问题之前，我们需要回答什么是“纯粹的机械过程” 。英国数学家阿兰·图灵（Alan Turing 1912-1954）定义了一个“纯机械过程”的数学模型。模型中定义的机器会扫描被分割成方块的假想磁带。根据规则表和它自己的内部状态，它接下来在方块上写一个符号，然后要么保持不变，要么向右或向左移动一个方块。这个机器模型后来被称为图灵机，他用它来进行数学论证，而不是制造一台真正的计算机。一般认为宇宙中的一切都是可计算的，当且仅当它可以简化为图灵机。这被称为丘奇-图灵假说。上面提到的规则表现在被称为“计算机程序” 。