π与数学奇才拉马努金印度数学奇才拉马努金 _小知识

记得上小学的时候，曾经碰到过圆周率π的问题，也就是圆的周长与直径之比的问题，那时候老师告诉我们，如果要想计算的的话,对你们来说可能是复杂了点，但是你们可以试验着用尺子量一下周长，再除以直径就可以知道这个比值大约是3.1，这个精度其实在一般的土木工程等日常生产活动已经足够用了。随后老师告诉了我们一个更精确的数值是3.1415926，但是却没有告诉我们是怎么算出来的，因为这种精度的数值绝对不是实际测量得出的结果。
记得那时我曾经琢磨过这个问题，但是怎么也想不出算出圆的周长的方法，觉得那弯弯的弧线的长度真是太神秘了无法计算。
转眼到了高中，记得数学老师说π值是没办法直接计算出来的，因为圆周的周长是无法直接计算的，古希腊的一位大数学家阿基米德给了我们一个思路，就是割圆法或逼近法。所谓的割圆法，就是先在圆外做一个与该圆外切的多边形，计算其的周长，然后再作一个圆的内接多边形，计算其的周长，那么我们就可以知道该圆的周长必定在这外接的多边形周长和内接的多边形周长之间。老师这么一讲我才脑洞大开，原来你不用死脑筋地非得去直接计算那弯弯的曲线的长度，而是用可以计算的多边形的长度来代替。果然天才就是天才，你冥思苦想都没思路的问题，人家一下子就解了，下面我们就用这个方法来试验着计算一下。

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作一半径为1的单位圆如上图，则其外接正方形的边长为4*2=8 。其内接四方形的一边的边长为图中的斜边AB，它的两个直角边是圆的半径1，所以其长度应为 2^0.5=1.414，那么该内接四形的周长为4*2^0.5 ，于是π值应该为如下范围内：
4*1.414 <2π<8
2.828<π<4
这个范围太大了，还没有达到实测的精度范围，所以还得继续进一步逼近，下面来看看六边形的情形，参考下图，单位圆的半径仍为1时的外接及内接六边形的周长。

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因为是六边形所以∠AOB=30°，CD为内接六边形的边长的的一半，其值的大小计算如下：
在三角形中OCD中，因为sin30°=CD/OD
所以 CD=OD*sin30°=1*1/2=1/2=0.5
下面来计算外接六角形的边长的一半的AB的值。
在三角形OAB中，因为tan60°=AB/OA
所以AB=OA*tan30°=1*tan30°=3^0.5/3=0.57735
内接六边形的周长为：12*0.5=6 与直径的比值：6/2=3
外接六边形的周长为：12*0.57735=6.9282 与直径的比值：6.9282/2=3.34641
那么结论是π的范围如下：3<π<3.34641
虽然比四边形进步了许多但是仍然没有达到实际测量的精度，看来要想获得更加精确的圆周率就得继续计算八边形，十边形……，笔者的脑子计算到六边形时就发晕了，看来在没有计算机的时代要想计算出精确的π值真是件不容易的事。
但是阿基米德可比笔者厉害多了，据说算到了96边形，得出π的值域范围是3.141<π<3.142，完全正确，因为真值是3.1416……，不过当时人们还不知道。
要知道这是在公元前276年左右，既没有电脑也没有计算器，也没有阿拉伯数字甚至连纸张都没有的时代计算出来的，也就是意味着上述计算中开方计算都得用手工逐一计算出来的，真是难以想象的聪明，古希腊人。怪不得历史学家评论道：古希腊人的所成就的一切无不让现代人惊叹不已！
300多年后，公元150年左右，还是希腊人，亚历山大的天文学家托勒密按照这个方法又向前推进了一位，算出了π=3.1416 。
200多年后，公元420年左右，我国的祖冲之也是采用割圆术（不过是独自考案的，因为他没法读到希腊人的著作），将圆周率的精度大幅地提高了四位数。
他的结果是3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927 。
这个光荣的记录保持了近9个多世纪，直至公元1424年，阿拉伯数学家卡西才突破了这个记录，他在《圆周论》这本书中，仍然是采用阿基米德首创的内接与外接正多边形的方法，得出的值是π=3.14159265358979325，又把该值的精度一下子向前推进了10位。
300年后的17世纪初，德国人鲁道夫几乎一生都在研究计算圆周率的问题，他把π值计算到了35位。采用的方法仍旧是阿基米德所开创的逼近法，不过多边形的边数已经达到了惊人的几百条以上，至此已经达到采用该方法手工计算的的极限，也标志着如果采用此法进行手工计算，即使你一生不停地在计算，其位数之多也只能算到35位左右。
但是鲁道夫的运气实在太差，他35位的记录创立的同时，与他同时代的英国数学家梅钦就发现了一种与阿基米德不同的崭新计算方法，也就是所谓的无穷级数法，而且该法还可以仅仅进行少量的计算就可以得到精度很高的π值，术语就是收敛的很快，1706年梅钦采用如下的公式计算，一举把圆周率的位数算到了小数点后100位，这是采用逼近法无法达到的精度。梅钦的公式如下：
公式中的反函数值是利用无穷级数展开计算的。
1844年，数学家达赛利对上述公式进了进一步改进后把圆周率计算到了小数点后200位。
1873年，数学家谢克斯利利用梅钦法花费了20年的时间将圆周率计算到了小数点后707位。
1948年，英国数学家佛格森和美国数学家仑奇共同计算，把圆周率计算到了小数点后第808位。至此已经达到利用无穷级数法计算的极限，因为如果你要想突破这个精度的话，可能将消耗你毕生的时间。
但是，随着技术领域的飞跃性的进步，1946年世界上第一台电子计算机在美国的出现了，手工计算π值的时代不久就宣告结束了（当时计算机还在秘密地用于弹道计算方面）。在计算机出现后的第三年，也就是1949年，美国数学家利用梅钦公式在第一台计算机ENIAC上把π值计算到了小数点后的第2035位，所需的时间仅为70小时，这还包括了准备和打印的时间。
从此以后把π值计算到多少位的竞赛宣告结束，或者已经没有多大的意义，问题的重点已经转移到了如何才能找到收敛更快的计算公式这一问题上。因为人们发现不同的公式的收敛速度相差甚远，这一点在计算机计算显得尤为突出。就像在手工计算时不同的方法所导致计算速度不同一样，如果采用相同运算速度的计算机，那么采用收敛速度快的公式必胜无疑，所以寻找收敛速度更快的公式成了现代数学家的一个新的问题。
令人惊奇的是当今世界上收敛速度最快的计算公式是由印度的天才数学家，据说可以与欧几里得与阿基米德相提并论的拉马努金发现的，而且还是拉马努金在上个世纪二十年代计算机尚未出现时就发现了这个快速收敛的公式，这个公式的收敛速度快得惊人，只要第一步计算你就可以达到祖冲之所达到精度，也就是前人花费了1000多年才达到的成就。而且每计算一次就可以获得8位有效数字，如果采用此公式来计算的话，只需要计算几天时间，就可以得出相当于之前德国人鲁道夫花费一生时间才得出的结果，正因为该公式惊人的收敛速度，所以现代计算机均采用拉马努金公式及其改进公式来计算π值。难怪有人说拉马努金是属于1000年才能出现一次级别的天才数学家，笔者看到此文，不禁动起了想看看这个公式到底是模样的念头，在网上一扫荡了一阵子后，终于找到了这个神奇的公式。

许多数学家包括我在内，刚看到这个公式时都看不出这个公式的右侧为什么能与π发生关系！更令人惊奇的是当时的一流数学家也都看不出这个公式时如何推导出来的。下面我们来看一下这神奇的拉马努金公式的计算效果：
k=0，代入得：
注意：因为0！=1所以k！=0！=1，同理（4k）！也等于1
π=3.1415927（已知真值=3.14159265……）
【π与数学奇才拉马努金印度数学奇才拉马努金】k=0时已经精确到了小数点后第6位，也就是百万分之一的数量级了，这已经是祖冲之的精度了。
K=1时，重复上述计算并与k=0时的值相加后可得：
π=3.14159265359（真值=3.14159265358……）
仅计算了1步（k=0时为初始值计算）就使π值精确到了小数点后第10位，也就是精确度达到了百亿分之一也就是
的数量级。
1994年，人们采用改进了的拉马努金的公式在计算机上将π值计算到了40.44亿位。
那么拉马努金的公式的如何推导出来的呢？据说当时世界顶级数学家哈代看到这个公式拉马努金后，问拉马努金是如何推导出来的？拉马努金竟然回答说是神给他的灵感，甚至本人也没有认真地推导证明过。最后哈代与拉马努金本人花了几个月的功夫才把公式的推导和证明整理出来发表了。
连顶级数学家都要花费几个月的时间才能理解的公式，笔者真的是望而却步了，据说该公式涉及高深的椭圆积分和θ函数，我赶紧翻了下手头仅有的高等数学教材，根本就没出现过椭圆积分和θ函数这两个词。

尾声
拉马努金（Ramanuja），印度的传奇天才数学家（1877-1920），出生于一没落贵族家庭。在其论文价值未被数学界承认之前，因其偏科没能得到大学文凭，仅谋得了月薪仅为20卢比的一个记账员的职位，按照当时的币值仅能买到40斤大米。但是即使在此种情况下他仍然在研究他喜欢的数学，由于拮据得买不起纸张，他不得不经常在石板上进行运算。1914年，英国顶级数学家哈代收到了一封来自拉马努金的自荐信，哈代没有像普通人那样把这个陌生人的信件扔进垃圾桶，他读了拉马努金的信后坦白地对同僚说“拉马努金击败了我”，随即邀请拉马努金前来三一学院进行交流和研究。之后拉马努金与哈代合作发表了三十余篇论文，每一篇都是当时超一流的水平，1919年31岁时成为英国皇家学会的外籍会员（亚洲首位外籍会员），年薪300英镑，大约相当于相当于现在的100万人民币左右。可惜英才薄命，拉马努金到英国后不久便因不适应英国的气候而患病，1920年因病归国，同年因病在家乡去世，时年仅32岁。
哈代在悼念拉马努金的发言中给予了拉马努金以极高的评价“如果仅就数学天赋而言的话，我自己是25分，希尔伯特是80分，而拉马努金则是100分”，坦诚地承认拉马努金远远地超过同时代的任何人。
可惜英才早逝，留给世人3大箱子数学研究笔记，其中有几千个没有完成的猜想和证明，是一份留给世人的丰厚的数学遗产，直到1997年才整理完毕并出版。由于他的遗作中含有大量的猜想和尚未证明的命题，当初预计5年可以完成对其手稿的研究及分析和证明等工作，可是到现在仍然只完成了其中的一小部分，仅仅是冰山中一角，于是美国佛罗里达大学与1997年创立了一个《拉马努金期刊》专门发表有关拉马努金遗作及其相关领域的研究成果。印度在其家乡修建了纪念馆，并拍了三部有关他的电影。这位生前曾在印度甚至穷得买不起纸张的小职员，现在已经成了印度人的偶像。2015年英国也拍摄了电影《知无涯者》以纪念拉马努金和发现了他的伯乐哈代，据报道脸书创始人扎克伯格在看了这部影片后不禁唏嘘落泪，随后决定创立一个拉马努金纪念基金会。

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电影中拉马努金因买不起纸而在石板上计算的镜头
更令人惊讶的人们发现是他的数学研究成果可以运用到探讨黑洞构造的弦理论中去，而拉马努金在世时人们尚不知黑洞为何物。而今他的数学理论又被运用到量子力学等物理学的研究前沿。
“我们是在学习数学，而他是在创造数学”——哈代如是说。

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