自然数之和是自然数之和是多少 _小知识

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斯里尼瓦瑟·拉马努詹（ Iyengar Ramanujan）是印度自学成才的天才。他爱数字胜过一切，他几乎每天甚至每小时都会发现一个新的定理。但根据他自己的说法，这些定理是他梦中的女神Namagiri告诉他的。不管怎样，他的天才永远不会受到质疑。拉玛努詹，在他在世的最后一年发现了2000个新的定理，现在这些定理被储存在剑桥大学图书馆的三卷本中，被称为 "拉马努詹遗失的笔记本"，在他30岁的时候就去世了。
虽然拉马努詹的大部分研究都超出了大多数人的智力范围，但有一项研究非常著名，几乎所有对数学感兴趣的人都知道，那就是他证明了“所有自然数之和是负数”这一荒谬的结论。

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-1/12也恰好出现在弦理论中（不是霍金的那个，而是玻色弦理论），而这个理论恰好在相当大的程度上解释了我们的宇宙！但这是真的吗？这绝对是说不通的，对吧？那看看拉玛努詹本人为这个看似不现实的等式提出的实际证明。
拉马努詹从两个数列开始：

T=1-2+3-4+5-6+7-...
S=1-1+1-1-...

首先考虑第二个式子：

S = 1-1+1-1+1-...

接下来，他作了一点变换：

S = 1-(1-1+1-1+1-...)

如果你仔细看，括号内的“东西”是零，对吧？

这里，我要提醒的是，当涉及无穷时，不要相信你的直觉，这是我在另一篇文章中详细讨论过的。
调和级数——自然真理是如何隐藏在数字中的，永远不要相信直觉

我们继续……根据我们的直觉，括号内的“东西”等于零，那么就有：

S = 1-S
2S = 1
S = 1/2 - - - - [1]

重新排列后，我们得到的结果是，这个级数等于1/2 。
接着是第一个等式。

T = 1-2+3-4+5-6+7-...

现在我们把两个T相加。

2T = (1-2+3-4+5-6+7-...) + (1-2+3-4+5-6+7-...)

这里，我们把1从其中一个括号里拿出来（这只是拉马努詹众多技巧中的一个），你会习惯的。

2T = 1 + (-2+3-4+5-6+7-...) + (1-2+3-4+5-6+7-...)

重新排列，我们得到：

2T = 1 + [ (-2+1)+(3-2)+(-4+3)+...]

看到了吗？

2T = 1 + [-1+1-1+1-...]
2T = 1-1+1-1+1-...
2T = S = 1/2
T = 1/4

没有什么问题，对吧？
现在，取所有整数之和为U=1+2+3+4+...，我们用U减去T：

U-T = [1+2+3+...]-[1-2+3-4+...]。
U-T = [(1-1) + (2-(-2)) + (3-3) + (4-(-4))+...

加起来，得到：

U-T=4+8+12+... 。

再次重排，得到：

U-T=4（1+2+3+...）=4U
U-4U = T
3U = T

因为我们已经知道T=1/4：

3U = -1/4
U = -1/12

因此，1+2+3+...=-1/12，但实际上是这样吗？我之前提醒过，涉及到无穷时，不要相信你的直觉！
答案是否定的! 为什么这个答案是错误的，原因来自于实分析中最基本的概念之一，收敛。如果你还没有注意到，我们谈到的第一个等式S，只不过是格兰迪级数（ Grandi’s Series）。

S = 1-1+1-1+1-...

S可以有两个可能的值，当我们考虑偶数项之和时为0，当我们考虑奇数项之和时为1，但S作为一个整体没有任何特定的解，因为它既不考虑偶数项之和，也不考虑奇数项之和，而是无限的级数。你可能会问，为什么格兰迪级数没有解（答案），而其他许多无限级数却有解，这个问题的答案将引导我们了解为什么拉马努詹的无限级数是错误的。
让我们把S写成求和的形式，让它看起来更 "数学 "：

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其中n是一个整数，当n趋向于无穷时，S变成了格兰迪级数

我们观察到，当n从1到∞变化时从S得到的值，这些值会在0和1之间来回“跳转”，或者换句话说，S的值不“收敛”于任何东西。
为了弄清收敛的概念，让我们考虑一个更简单的函数。

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自然数之和是 自然数之和是多少

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