谈谈自然数的扩充 _小知识

本文将在自然数系中引入一种新的运算 —— 减法，并将自然数系扩充为整数系，讨论一些相关性质。本文适合任何学历读者。

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引言

在上一篇文章中，我们从皮亚诺公理出发定义了自然数集，并且讨论了在自然数集上封闭的两种运算 —— 加法和乘法。参考阅读：
如何证明 1 + 1 = 2 ? 从皮亚诺公理角度谈谈自然数
加法和乘法两种运算能做的事情终究是有限的。现在，我们需要引入一个新的运算 —— 减法，并且为了能使这个运算能够被很好地定义，我们需要一个比自然数集更大的集合 —— 整数集。

现在，我们面临一个问题：到底是先定义减法还是先定义整数？由于减法是整数集中的二元运算，从映射的角度看，没有理由先定义对应关系再定义集合，因此整数应该比减法更早定义。我们很容易想到，用两个自然数来定义一个整数，比如。

如果使用的形式来定义一个整数，那么我们需要考虑：

（1）何时它们表示同一个整数，例如；
（2）它们之间如何进行加减运算，例如
（3）是否涉及减法的循环定义，因为此时还未定义减法。

对于 (1)，我们只需要利用与等价的事实即可。对于 (2)，我们依旧可以通过一些加法和乘法的定律来定义。对于 (3)，为了暂时规避减法，我们将这种二元运算暂时写成的形式，它的最终实质是减法，但我们暂且先假装不知道；等到减法被正式定义，再将 “” 替换为 “” 。

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整数的定义

定义 (整数)：一个整数是形如 a -- b 的数，其中 a, b 是自然数；两个整数是相等的，即 a -- b = c -- d，当且仅当 a + d = c + b. 我们用表示整数集。

在这个定义之下，我们明白和其实是同一个整数，这是因为。这样的定义有一个小问题，例如我们知道“”是整数，但并不形如“”，因此在这个定义下，“”还不是整数，这个之后会修正。

等式是否正当

上面的定义中的等式是否正当？等式是一种联系两个相同类型的对象之间的关系。如何定义两个对象之间的相等，取决于这两个对象所在的类的描述。出于逻辑考量，等式应当遵循以下四条等式公理：

(自反公理) 对于任意对象 x, 有 x = x 。

(对称公理) 对于任意相同类型的对象 x, y，若 x = y 则 y = x 。

(传递公理) 对于任意相同类型的对象 x, y, z，若 x = y, y = z, 则 x = z 。

(代换公理) 对于任意相同类型的对象 x, y，若 x = y，则 f(x) = f(y) 对于任何映射或运算 f 都成立。同理，对于有关 x 的任何性质 P(x)，若 x = y，则 P(x) 和 P(y) 是等价的陈述。

对于任意整数，
自反性成立。
对于任意整数,，

对称性成立。同理，可以验证传递性成立，留给读者验证。对于代换公理，由于目前还未定义任何整数之间的运算（加法，乘法等），这个等我们定义了运算之后再验证。

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整数的加法和乘法

下面定义整数的两种运算 —— 加法和乘法。

定义 (整数加法)：两个整数之和定义为
(a -- b) + (c -- d) = ( a + c ) -- ( b + d ).

定义 (整数乘法)：两个整数之积定义为
(a -- b) x (c -- d) = ( ac + bd ) -- ( ad + bc ).

例如，，我们考虑一件事，我们将其中一个整数换成一个相等的整数，加法和乘法的定义是否依旧有效？例如，是否有？答案是肯定的，并有如下引理。

引理 (整数加法乘法定义明确)：对于任意整数 a, b, a', b', c, d，若 a -- b = a' -- b'，则
(a -- b) + (c -- d) = (a' -- b') + (c -- d),
(c -- d) + (a -- b) = (c -- d) + (a' -- b'),
(a -- b) x (c -- d) = (a' -- b') x (c -- d),
(c -- d) x (a -- b) = (c -- d) x (a' -- b') .

下面证明第一个等式，其他三个留给读者验证。由自然数加法的性质以及整数加法的定义可得：