令人困惑的条件概率——红球蓝球概率问题 _概率

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最近，一道看似简单的概率题在网上引起了大家的热议，题目是这样的：
三个相同的盒子里各种 2 个球，其中一个盒子里放了 2 个红球，一个盒子里放了两个蓝球，一个盒子里放了红球蓝球各一个。随机选择一个盒子后从中随机摸出一个球是红球，则这个盒子中另一个球是红球的概率是多少？

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这个题的正确答案是 2/3，有很多方法可以说明这一点。
第一种方法我们可以把盒子中的每一个球编上序号，第一个盒子里的球为 R1，R2，第二个盒子里的球为 B1，B2，第三个盒子里的球为 R3, B3 。我们随机摸出一个红球共有三种等可能的情况，即 R1，R2，这三种可能性中有两种（R1，R2）这个盒子中另一个球为红球，只有一种可能性（R3）这个盒子中另一个球为蓝球，所以这个盒子中另一个球是红球的概率为 2/3 。
当然我们还可以用公式计算得出结论。在概率论中，在已知事件 B 已经发生的情况下，事件 A 发生的概率就记做 P(A|B)，它应该等于 P(AB)/P(B)，即 A 和 B 同时发生的概率除以 B 自身发生的概率。例如一个国际班里有 10 个学生，3 名中国人，2 名日本人，5 名美国人，随机选出一名学生，已知他来自亚洲，则他来自中国的概率为 3/10 除以 5/10 等于 3/5 。而上述公式中 P(AB) 又可以等于 P(B|A)P(A)，因此我们得到公式。

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这个公式叫做贝叶斯(Bayes)定理
在此题中，
【令人困惑的条件概率——红球蓝球概率问题】

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实际上，这个问题看似简单，但曾经迷惑了很多人。在第一次世界大战结束时，曾经有“骗子”用这个游戏在街头设赌局，骗子让围观者随机从一个盒子中摸出一个球，若是红球，骗子会说“我赌一美元箱子中另一个球也是红球”，若摸出蓝球，骗子会说“我赌一美元箱子中另一个球也是蓝球”，骗子用这个小小的把戏最终骗了人们许多钱，因为他的概率不是一半一半，骗子赢的可能性远大于输的可能性。
如果你还是觉得困惑，我们来看下面这个关于概率的例子。
假如你认识了一个朋友，她说她有两个孩子，其中一个是女孩，那么她的两个孩子都是女孩的概率是多少
答案是 1/3 。两个孩子一共有四中等可能性“女男，男女，女女，男男”，其中一个是女孩，但并不知道女孩是老大还是老二，因此排除“男男”的可能，有三种等可能的情况，因此“两个都是女孩”是可能出现的三种等可能的情况之一，概率为 1/3 。或者用贝叶斯公式

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我换一种问法，你认识了一个朋友，并且看见了她带了一个女孩，她说“我有两个孩子，这个是我的女儿。”问她的两个孩子都是女孩的概率是多少。
答案是1/2 。

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你是不是很起奇怪，这和上一题的问法有什么区别？有的，因为你见到了这个女孩，即使你不知道她是老大还是老二，都只有两种等可能的情况。若她是老大，则等可能的情况为“女男，女女”，若她是老二，则等可能的情况为“男女，女女”，不论哪一种情况，两个都是女孩的概率均为 1/2，因为她不可能既是大女儿又是小女儿，条件和所求的结果是相互独立的事件，不符合条件概率的定义，不能用贝叶斯公式计算。
我们在重新看一开始说的红球和蓝球的问题，随机选择一个盒子后从中随机摸出一个球是红球，我们不可能知道这个球是来自哪个盒子里的，这样的话这道题就失去了意义，我们只知道它要么是来自第一个盒子，要么是来自第三个盒子，但是来自这两个盒子的概率并不是等可能的，来自第一个盒子里的概率是来自第三个盒子的两倍，这就造成了答案是 2/3 这个看似反直觉的结果。
其实在我们生活中也有很多关于条件概率的例子，例如欧冠半决赛，利物浦半决赛对阵巴塞罗那，在一场比赛都没打的情况下问利物浦能晋级的概率为多少和在利物浦首回合0比3输给巴萨后再问利物浦能晋级的概率是多少肯定是不一样的，因为后者就是一个条件概率，在利物浦首回合 0 比 3 输给巴萨的条件下，能晋级的概率肯定会大大下降，但是神奇的利物浦确偏偏用了一个 4 比 0 进行了大逆转，我也只能感叹，足球真的是一个令人着迷的运动，它不是可以用概率计算出来的！(完)