合格的数学爱好者，首先要是一个解题高手( 三 ) _小知识

冯 · 诺伊曼转过头盯着黑板上那个问题，看了大约一分钟，然后说：e^x 。这位困惑的学生以为他没有听明白，于是说：“我知道那是正确答案，冯 · 诺伊曼教授，我只是不懂它是怎么求出来的。”
结果冯 · 诺伊曼盯住学生看了一分钟，然后移开视线，又重复一遍说：e^x 。这名学生开始失去耐性了：“但你并没有告诉我你究竟是怎么得到答案的！"
冯 · 诺伊曼把头转向他，一脸寒霜地说：" 小伙子，你到底要我怎么办呀？我不是已经用两种不同的方式告诉你了吗？" 7
高斯是一个不世俗的数学天才，他的才华是毋庸置疑的，但我依然对他完全没有好感 9 。因为我不是一个「王语嫣」，喜欢对各家各派的武功品头论足，我喜欢是真正能教给我武功的人，高斯是最杰出的数学家之一，但他可能不是个好老师。
当你阅读高斯的著作时，你只会惊叹于他的才华横溢，而对于具体的探索路径一无所知。
「高斯象一只狐狸，用尾巴扫砂子来掩盖自己的足迹。」—— 阿贝尔
「当一幢建筑物完成时，应该把脚手架拆除干净。」—— 高斯
据说这是高斯最大的缺点，也正因如此，他与同时代数学家的关系都不怎么好。在这里我不想对高斯的动机作出其他的评价，但我们可以用脚投票去选择一位更好的老师：在数学圈里与高斯风格截然不同的就是——欧拉。
拉格朗日曾说「读读欧拉，他是所有人的老师」，连高斯也说，「读欧拉的作品乃是了解数学的最好途径」。
挑选教材最重要的是根据水平做出选择，但选择一位平易近人的作者也是不可忽视的。

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真正的好老师应该让学生有这种感觉「这个老师是一个努力而有方法的普通人」，而不是「这个老师是个天才」。
创造力与形式化能把数学讲得简明易懂，并不是一件容易的事情，高度形式化令人挠头的数学是长期发展的结果，那些复杂的概念并不是「大厦」，严丝合缝的一层一层搭建的，相反，往往是修修补补慢慢改出来的。
数学史的发展也一再证明：自由创造总是领先于形式化和逻辑基础。8
——《数学的源与流》
微积分学就是最典型的案例，从牛顿、莱布尼茨、欧拉时期，再到柯西、康托，后又到勒贝格，微积分学符号是越来越怪，外行是越来越看不懂。之所以这样，并不是数学家故意搞坏，只是因为在应用的过程中发现了问题，不断进行修补。

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在1904年那本重要的专题著作的序言中，勒贝格承认他的那些定理把我们从「优美的」函数之邦带到一个更复杂的函数王国，而为了解决那些简单陈述的具有历史意义的问题，还需要在这片王国居住下来。
他写道：「这是为了解决已经提出的那些问题而不是出于对复杂事物的偏爱，我在书中引进一个积分定义，这个定义比黎曼积分的定义更具有普遍性，并且把黎曼积分作为一个特例。」
为的是解决历史留下的问题而不是为了使生活变得错综复杂化：这是亨利·勒贝格在他研究数学的旅程中所奉行的金科玉律。——《微积分的历程》
分析学的大厦是自下而上建立的，但教科书又不得不自上而下的去讲述，这就导致教科书的头几章常常是令人非常头痛，不知所云。
数学书不同于其他的书籍，最开始的囫囵吞枣和不求甚解，以及之后的反复阅读和温习，是非常有必要的。
依靠数学史的轨迹去学习数学，这种教学方式被称为「再创造」 12，这种方法的价值在于：兼顾了创造性和学习效率。

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首先它并不是直接「学」，而是还原到当时的历史场景中去感受一个概念诞生的背景，「知其然，但也知其所以然」。其次也并不妄图从头创造一遍历史，那简直是痴人说梦 12 。纵然站在历史的高点往前看，「再创造」也是极其困难的，到最后还是要学习前人发明的高效方法。虽然如此，但这个思考的过程中就已经收获了创新能力。
初学者很难在一开始就通过「再创造」的学习方法。首先，越是严肃的数学读物越需要坚实的数学知识，这对于初学者来说是不现实的；其次，特殊教科书为了数学的美感，会把很多重要的细节给丢失掉。