在流行传染病学中占据了中心位置的SIR模型 _数学模型

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【在流行传染病学中占据了中心位置的SIR模型】
SIR 模型SIR 模型（易感者 susceptible、感染者 infectious、痊愈者 recovered），在流行病学中占据了中心位置。
由于这个模型起源于流行病研究领域，同时也因为考虑传染病的痊愈更为自然，因此我们以传染病的传播为例来描述 SIR 模型。为了避免过于复杂的数学计算，我们假设治愈传染病的人会重新进入易感人群，也就是说治愈传染病并不会产生未来对传染病的免疫力。

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其中， Pcontact, Pspread, Precover 分别等于传染病的接触概率、传播概率和痊愈概率。
流行病学家对接触概率和传播概率会进行单独跟踪，我们也会这样做。接触概率取决于传染病如何从一个人传播到另一个人。艾滋病通过性接触传播；白喉通过唾液传播；流感病毒通过空气传播。因此，流感的接触概率高于白喉，白喉的接触概率又高于艾滋病。而且，在发生接触后，各种传染病的传播概率也会有所不同。白喉比 SARS 更容易传染给另一个人。
SIR模型会产生一个临界点，就是所谓的 R0 ，也就是接触概率乘以扩散概率与痊愈概率之比。某种传染病，如果 R0 大于1 ，那么这种传染病就可以传遍整个人群，而 R0 小于 1 的传染病则趋于消失。在这个模型中，信息（或者，在这个例子中是传染病）并不一定会传播到整个相关人群。能不能做到这一点取决于 R0 的值。因此，像疾病控制中心这样的政府机构必须依据对 R0 的估计来指导政策制定。

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如表11-1所示，麻疹可以通过空气传播，因而它的再生数高于艾滋病，艾滋病只能通过性接触和共用针头传播。对 R0 的估计假设人们不会为了应对传染病而改变行为。

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然而，当学校里虱子肆虐时，家长的反应可能是让孩子待在家中，以降低接触概率，还可能会剃光孩子的头发，减少接触发生时传播的可能性。这两种行为变化都会降低虱子传播的 R0 。
在没有疫苗的情况下，检疫是一个选择，但是成本很高。如果存在疫苗，那么疫苗接种可以预防传染病传播。即便做不到每个人都接种疫苗，也可以预防传染病传播。必须接种疫苗的人的比例，即疫苗接种阈值（vaccinationthreshold），可以通过公式 V≥ (R0-1)/R0 求出。我们可以从上述模型中推导出这个公式。

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疫苗接种阈值随 R0 的增加而提高。例如，脊髓灰质炎的 R0 为6 ，因此为了防止脊髓灰质炎的传播，疫苗必须覆盖5/6的人群。而麻疹的 R0 为15 ，为了阻止麻疹的传播，疫苗必须覆盖14/15的人口。疫苗接种阈值的数学推导也为决策者提供了指引，如果接种疫苗的人数太少，这种传染病就会传播开来，因此政府接种疫苗的次数会超过模型估计的阈值。对于麻疹和脊髓灰质炎等 R0 非常高的传染病，政府将努力保证所有人都接种疫苗。
有些人担心疫苗有副作用，选择不参加疫苗接种计划。如果这些人只占人口的一小部分，那么其他人接种疫苗也可以防止这些人感染这种传染病，流行病学家将这种现象称为群体免疫力。选择不接种疫苗的人事实上是搭了其他接种疫苗的人的便车。
尽管SIR模型原本是用来分析传染病传播的，但是我们也可以把它应用于所有通过扩散传播，然后趋于消失的社会现象例如书的销售、歌曲的流行、舞步的风行， "热词"的传播、食谱和健身方法的流传等。在这些情况在这些情况下，我们也可以估计接触概率、传播概率和"痊愈"概率，以及基本再生数 R0 。这个模型意味着，这些概率只要发生了微小的变化，就可以使 R0 移动到高于零的水平，从而造成成功与失败之间的天壤之别。