数学，美在哪里？( 二 ) _小知识

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这里的 S 是带号面积，以角标下第一个点的坐标为(x1,y1)、第二点的坐标为(x2,y2)、第三个点的坐标为(x3,y3) 。这样处理，无论点 D 在三角形 ABC 的内部还是外部，结论都是一样的。仍以前面说过的过平面上已知三点的圆方程为例，可以方便地扩展为三维空间乃至 n 维空间里(n+1)个点的球方程。体现数学统一性的还有求最值的方法。笔者在高中时代为了求最值可没少受罪，比如什么直接法、函数增减法、判别式法等等（那时高中还不讲导数），但是到了大学发现，原来求最值只要先求得导函数再解方程，然后比较一下就可以了啊。

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数学，美在严谨培根曾说，数学使人严密。有几个学生在初中没有受过“有且仅有”“当且仅当”一类字眼的折磨？还有就是证明一个东西是另一个东西的“充要条件”，或者在证明轨迹的时候要先证明一次“符合条件的点在所求线段上”，再证明一次“不符合条件的点不在所求线段上”，当时觉得多此一举，但是后来才知道只有这样才能保证正确性。
另外的例子是在学习微积分时，先要背所谓的 ε-δ 定义，这个已经很绕嘴了，什么“任给”、“存在”、“当”……然后每学一个定理时，总是要注意前提——函数是在开区间里连续，还是在闭区间里连续，或者是开区间里可导，还是闭区间里可导。连续还有一致连续，非一致连续，间断还有第一类间断点、第二类间断点，收敛还有条件收敛、绝对收敛……然而这正是数学的特质。她以严谨的特性，筛选出了真正的裙下之臣。
在缺乏逻辑传统和逻辑课程的中国，数学的严谨特质，是一种可贵的补充。其中，初等数学领域中的证明题是特别有利于培养“言之有据”等逻辑规则的。这里容不下花言巧语，容不下转移话题，不能借助类比等手段。你必须以“事实”（所给条件）为依据，以“法律”（公理、定义、定理）为准绳，脚踏实地进行论证，有一说一，有二说二。说到这里，有一种应试倾向应该得到纠正，那就是让学生遇到不会的题目去“蒙”，或者把条件罗列一下直接写个结论。笔者认为，理想的教学方法是，要求学生会做的题目要做对，不会的地方要老实留空，但这主张实在难以实行。
关于数学之美，当然可以谈论的地方还有很多，比如很应该从抽象之美的角度谈一谈（群论、线性代数可以作为例子），还有数学研究内容之丰富和有力可能也是数学之美的组成部分，但笔者能力所限，只能避而不谈了。其实就是以上内容，可能也不免谬误或者不当，敬请读者指正。