感受数学模型方法至高深层的美( 二 ) _数学模型

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早在上个世纪九十年代，笔者就在中文核心期刊《数学通报》（1994.4）上以“模型与解题”为题发文，文中写道：“模型方法是一种经典的方法，并非数学所独有，随着科学技术的数学化趋势，使得模型方法早已超越出了数学的范畴，它广泛地应用于自然科学、工程技术与社会科学的一切领域中。就数学而言，模型方法早已成为一种独特的数学方法。”
数学模型方法之美，就在于它把各类问题有机地统一于各个不同的数学模型之中，使得形式各异的问题变得容易通过数学方法予以解决。这里所说的数学模型，有几何模型、代数模型、规划模型、优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型等等。就解决数学问题，或者说是解数学题的模型而言，则有函数模型、方程模型、不等式模型、数列模型、三角模型、集合模型等，而在函数模型中，又可分为一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等等。
数学史上运用数学建模方法解决实际问题的例子比比皆是，著名的哥尼斯堡七桥问题便是一个光辉的例证。事实上，大数学家欧拉非常巧妙的将“普雷格尔河穿城而过，并绕流河中一座小岛而分成两支，河上建了 7 座桥。当地居民想设计一次散步，从某处出发，经过每座桥回到原地，中间不重复”这个不可能问题转变成一个数学模型，用点和线画出网络状图，证明这种走法不存在，从而解决了这个长期困扰人们的七桥问题。这个“一笔画”问题的研究和解决，不仅充分体现了拓扑学的思想，而且引发了数学新分支——图论的诞生，在更大意义上引导了图论和拓扑学的发展，折射出数学模型方法应用美的光芒。
必须指出，数学模型方法是近代才产生的，我们不妨以众人悉知的初等数学解题为例，说明数学模型方法的美妙之处。依据是笔者曾以“对数学解题的认识与思考”为题在《中学数学月刊》2012 年第 3 期上撰文，文中从审美直觉这种形态层面探讨了解题，所举的例子也是较有代表性的，可参阅。兹试举例如下：问题：围建一个面积为 360m2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m，设利用的旧墙长度为 x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为 y（单位：元) 。
（1）将 y 表示为 x 的函数；
（2）试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。

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先由问题所给定的材料寻找量与量之间的内在联系，再建立起数学模型。
（1）设矩形的另一边长为 m，则

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由已知 x a=360，得 a=360/x ，所以

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此函数比较复杂，抛开常数项，观察发现具有自变量 x 的另外两项呈现出 x 的倒数形式，审美直觉下，容易想到两项相乘就可去掉 x，于是设法建立或者应用数学模型。
（2）

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这里用到了基本不等式模型：a2+b2≥2ab（a，b 为实数）推出的又一个数学模型：
【感受数学模型方法至高深层的美】

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只是在这个模型中，条件有所变化，就是 a，b 都为正数了。
∴ y = 225 x +3602/x-360 ≥ 10440，当且仅当 225 x = 3602/x 时，等号成立。
即当 x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元。
有意思的是，用这个基本不等式模型，可以解决类似的问题。比如，
1．某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡 240 元.并规定不记名，每卡每次只限 1 人，每天只限 1 次.某班有 48 名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为 40 元.要使每个学生游 8 次，每人最少交多少钱？
2．某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为、 (单位： )的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为 . 问、分别为多少(精确到 0.001m) 时用料最省?