说说一次不定方程的那些事儿 _方程

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本文作者：刘瑞祥，[遇见数学] 感谢刘老师的投稿支持！
所谓不定方程，是由于方程的个数少于未知数的个数，因此不能完全确定解的方程。据说最早研究这种方程的是古希腊的丢番图（一译丢藩都），所以也叫做丢番图方程。和我们常见方程相同的一点是，不定方程未知数的最高次数叫做不定方程的次数。常见的不定方程只求整数解，所以和数论有密切的关系。
具体到一次不定方程来说，一般形式为 ax+by=c，其中 a、b、c 往往都是整数，而要求的解(x,y)也是整数。这是初等数论的重要课题，虽然早就有了系统、完整的解法，但仍有一定趣味。要注意的是，c 只能是 a 和 b 最大公约数的整数倍。这一结论就是所谓的裴蜀定理。那么，聪明的你能不能给出证明呢？

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至于原方程的具体解法，对于只想从科普角度了解的朋友，可以参考别莱利曼的《趣味代数学》，而想更深入了解的朋友，可以参阅《美国大学生数学竞赛例题选讲》。前者是我第一次接触到不定方程的书，但不是下图这个版本，而后者并非是我对它有什么偏爱，只是恰好看过并且能看懂而已。

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下面说几个和一次不定方程有关的问题。
一、韩信分油问题这是一道传统题目：两个老汉要平分一桶十斤的油，但手头只有容积为七斤和三斤但没有刻度的两个篓，这时韩信——就是评书里经常提到的那个韩信——从此路过，三下五除二就为老汉解决了难题。现在要问你怎样才能平分？
这个问题用不定方程的角度来看，就是求 7x+3y=5 的整数解。即使单凭观察，也可以看出其中一组整数解是 x=2 且 y=-3 。所以显然过程如下：

【说说一次不定方程的那些事儿】用 7 斤的篓从桶中取出 7 斤油 ? 相当于令 x=1；
从 7 斤的篓向 3 斤的篓里倒满油，再把 3 斤篓里的油都倒回桶里，重复两次，此时 7 斤的篓里还剩余 1 斤，桶里有 9 斤油 ? 相当于令 y=-2，此时 x 不变；
把 7 斤篓里剩余的 1 斤油倒在 3 斤的篓里 ? 此时 x、y 都不变；
再用 7 斤的篓把 3 斤的篓倒满，此时桶里还剩 2 斤 ? 相当于 x=2，y 仍然不变；
把 3 斤篓里的油向桶里倒净 ? 相当于 y=-3，x 不变，仍然是 2 。

可见，解韩信分油问题的过程就是一步步实现不定方程解的过程，其中的正数是倒出油，负数是倒回油。这里要注意过程的安排，既不能使某个容器里的油超过其容积，也不能让某个容器里的油量为负数。现在问你，如果两人不是平分，而是按照别的方案分配这 10 斤油（限正整数分配），你会吗？或者两个老汉手里的油篓是其它容量的呢？或者要求其中一个老汉取走的油必须在篓里（或者桶里）呢？
在我推荐的第二本书里就有一个类似的题目，我也是看了书里的那个题目后才意识到韩信分油问题和不定方程之间关系的。所谓“后知后觉”，其此之谓乎？
二、正等分圆三等分圆所有人都会，五等分圆很多人会，那么十五等分圆呢？这是《几何原本》里的一个命题。我们容易想到 15 是 3 和 5 的最小公倍数。所以，如果把整个圆周长看作 15，三等分圆的每份长度就是 5，五等分圆的每份长度就是 3，于是需要解不定方程 5x+3y=1，其中 x 代表三等分弧的数目，y 代表五等分弧的数目，很容易看出 x=-1 且 y=2 是其中一个解。

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我们来看这个图示，点 A 既代表圆周起点的 0，也代表终点的 15，然后逆时针旋转下来，B、C 两个五等分点到 A 的弧长分别是 3 和 6，三等分点 D 到 A 点的弧长则是 5 。显然，C D 之间的弧长就是 1，也就是圆的十五等分弧，这正好印证了前面说的 x=-1 且 y=2，因为从 A 点逆时针过来后取了两个五等分弧，又去掉一个三等分弧。
当然你肯定已经看出，本例所说的不定方程不止这一组解，比如继续逆时针旋转到 E、F，这相当于 x 和 y 各取什么呢？你能借助这个图理解不定方程的通解吗？
类似的，从点 B 到点 D 对应于 5x+3y=2 的一个（或者一组）解，从点 D 到点 E 对应于 5x+3y=4 的一个（或者一组）解，等等。