影响了整个世界的新几何学( 二 ) _小知识

所以，与康德相反，亥姆霍兹认为几何的公设既不是由人类智慧所决定的，也不是由逻辑必然性决定的。他认为，空间是否是欧几里德空间，只是一个经验问题。
法国数学家庞加莱（Henri Poincaré）的观点则更为激进：他也认为新的几何是革命性的，但是他既不同意康德也不同意亥姆霍兹。如果如亥姆霍兹所言，几何来自经验，几何就不是一门精确的科学。庞加莱知道我们的脑海中不只有一种空间，因此，几何的公设不是一种人造的先验直觉（如康德所说），也不是实验事实（如亥姆霍兹所说），更不必是不证自明的真理（如以前的思想家笛卡尔和数学家拉格朗日所说）。庞加莱认为，几何公设只是惯例（conventions）。
那么，我们应该如何决定采用哪种惯例呢？是选欧几里德几何，还是新的非欧几何？庞加莱说我们可以根据经验来选择，但只要避免矛盾，选择哪种几何在根本上是自由的。“欧几里德几何是正确的吗？这个问题是没有意义的，就好像问公制单位是不是正确的，旧的度量衡是不是错误的一样。一种几何不会比另一种几何更‘正确’ ，只会更方便。”
这是观念的一种革命性变化：数学不再完全符合现实，我们可以自己选择想要的数学模型，只要它们能将我们想要它做的事做得最好。
到了20世纪，黎曼几何（非欧几何的一种）找到了一展身手的用武之地。爱因斯坦在广义相对论中描述的空间，正是以黎曼几何来表述的。那么，这是否意味着真实空间实际上是非欧的？庞加莱会说，只是在这里非欧几何管用罢了。
空间的心理学
早在非欧几何诞生之前，哲学家们，比如贝克莱主教（Bishop Berkeley）就指出，我们实际上并不能看到距离，我们所看到的只是视角，再用这一实际看到的角度来推断事物的几何性质。
【影响了整个世界的新几何学】这里给出了一个简单例子来说明这一点。看下图，像不像房间角落天花板和两面墙的交汇处？

文章插图
这看起来就像三个90度的角在一起，但是如果你按照实际测量每个角，它们其实是120度。我们的视觉空间与我们声称自己看到的空间并不一样。
非欧几何被发明以来，心理学家考虑了很多类似的情况。亥姆霍兹就做了一个实验，他让黑屋子里的受试者将桌子上的小光点排列成两条渐行渐远的平行线，发现用这些光点排出的线在观察者看来并不平行，而是发生了弯曲。亥姆霍兹因此认为，视觉空间是非欧的。而现在学界普遍的看法是，视觉感知空间并不存在一种一致的几何来描述。
这是欧洲的情况。那在其它文化中又是什么样的呢？文化语言学家史蒂文·莱文森（Steven Levinson）指出，不同文化中的人们对空间的感知方式也不同。
一些文化用固定坐标系来定义空间，采用四个基本方向，比如“车在建筑的南边” ，另外一些文化则依据物体间的关系定义他们的空间认知，如“车在建筑的右边” ，没有涉及任何空间概念。甚至还有不涉及个人的方式，如“车在建筑的前面” 。在这种方式中，物体本身的属性就定义了它的位置。
如今的GPS导航系统也改变了人们对空间的天生直觉，空间不再是绝对的，而是由物体间的关系决定。我曾问马里兰的一位出租车司机， GPS系统有没有改变他对空间的认知。他说：“当然！以前我的脑海中有整个巴尔的摩（马里兰一城市）的地形，现在则没有了。比如要载你到某个地方，我知道要从机场左转，沿高速公路到某某出口，然后右转。你下车后，我就反过来——左转，上高速，右转进入机场。我会回到原来的位置，但是我不知道在途中都经过了哪些地方。”
文化、艺术和建筑
对空间主题特别感兴趣的一个思想家是西班牙的奥特加·伊·加塞特（José Ortega y Gasset）。奥特加用新的几何观来反对地方主义——他认为，正如欧几里得几何只是多种几何中的一种，无法外推到整个宇宙一样，假设我们自己的经验或价值观是普世的也是毫无根据的。