数学与选举：美国总统大选的背后 _小知识

特朗普在11月8日美国大选中获得了第45任美国总统职位入主白宫。

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美国总统大选如同一场数学竞赛
美国总统选举过程漫长而复杂，由于美国采取的不是一人一票的直接民主，而是有复杂计算的间接民主，初选时每个州都有自己的投票规则，党代表票的计算方式也相当错综复杂。因此，美国总统大选可以说更像一场数学竞赛。

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在“奇葩”的大选初选阶段，美国50个州，每个州都有自己的规则，有的州是安静排队投票（Primary），有的州则是像辩论大会那样的党团会议（Caucus）。投票后，每个州的计票方式也不一样，搞到后来甚至投硬币也能决定！

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由于美国实行间接民主，因此老百姓的票其实是间接地投给了党代表们，而不是直接投给总统参选人，这计算就更复杂了，每一个州都不太一样。以今年4月怀俄明州的民主党初选为例，当地人民的投票结果显示桑德斯狂胜希拉里12个百分点，但最后，输掉的希拉里却拿到跟桑德斯一样多的党代表票，计算方式实在是错综复杂，说多了都是泪……

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选举结果是对选民意见的反映吗？
每到大选，美国社会各界就全体总动员。政治家当然是到处拉选票，各大媒体更是评论加民意调查加八卦候选人，各种招数都使出来吸引眼球。连不食人间烟火的数学家也不例外。
2008年初的美国数学年会就有一个关于选举中的数学问题的报告，临近大选的那一期数学会刊又有一篇相关文章。文章中的一些例子很容易对大众讲清楚，我这里就把它们整理出来与大家分享。
主要结论是：在竞选者实力接近的时候（各方支持者数量差不多），选举结果只是对选举规则的反映，而不一定是对选民意见的反映。
什么叫对选举规则的反映？这结论听起来怎么有点违背常理。要说清楚这个问题，我们先来看一个例子。
假设有三个候选人A ， B ， C 。11个人来投票，每个投票人列出他们对这三个人的支持程度，也就是给这三个人排一个从支持到不支持的序。结果如下：

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如果选举规则是每人只选一个人，根据上面列出的表我们可以看出A会赢。只选一个人的结果是A＞C＞B（得票依次是5 ， 4 ， 2）。如果选举规则是每人可以选两人，然后再从前两名中挑出得票最多的（相当于初选加复选），我们可以看到其结果是B＞C＞A（得票依次是9 ， 8 ， 5）。这个例子说明，同样的选民，同样的意向，因为选举规则的不同可以得出完全相反的结论。还有一些地方（比如欧洲一些地方的选举）对意向采用Borda加权（起始于1770年）。
对每个意向表，第一名得两分，第二名得一分。最后把每个人的得分加起来看谁的分多谁当选。如果对上面的意向表采用这个Borda加权，我们得出另一个不同的结果C＞B＞A（依次得分是12 ， 11 ， 10）。如果用另外的加权方法，我们还可以得出别的不同结果。
同样的意向表，不同的加权，到底会产生多少个不同的结果？有定理说：
对N个候选人，存在一个意向表使得不同的加权会产生(N-1)*(N-1)!个不同的结果。
显然，对加权的限制是前面的权要大于等于后面的权。另外还要求最后一名的权是0 。在这种条件下，如果有10个候选人（比如美国的总统初选），同样的意向表可以产生超过三百万种不同的结果。
有人说数学上证明的存在例子都是人为造出来的特殊情况，实际选举出现这种特例的机会是不多的。对这些怀疑者正好有另一个定理等在那里回答。该定理说：如果有三个候选人，他们的支持度差不多（没有人有特别大的优势），则有大于三分之二的可能性（实际数是69％）选举规则会改变选举结果。