拍案惊奇，原来折纸背后的数学如此强大 _小知识

文章插图
一张白纸，不剪不裁，却能折出无数变化。有时候尺规作图无法完成的任务，折纸却能解决。为什么它能有如此多变化呢？这还要从折纸对应的几何操作说起了。
折纸几何公理
1991 年，日裔意大利数学家藤田文章（Humiaki Huzita）指出了折纸过程中的 6 种基本操作，也叫做折纸几何公理。假定所有折纸操作均在理想的平面上进行，并且所有折痕都是直线，那么这些公理描述了通过折纸可能达成的所有数学操作：
1. 已知 A 、 B 两点，可以折出一条经过 A 、 B 的折痕

文章插图
2. 已知 A 、 B 两点，可以把点 A 折到点 B 上去

文章插图
3. 已知 a 、 b 两条直线，可以把直线 a 折到直线 b 上去

文章插图
4. 已知点 A 和直线 a ，可以沿着一条过 A 点的折痕，把 a 折到自身上

文章插图
5. 已知 A 、 B 两点和直线 a ，可以沿着一条过 B 点的折痕，把 A 折到 a 上

文章插图
【拍案惊奇，原来折纸背后的数学如此强大】6. 已知 A 、 B 两点和 a 、 b 两直线，可以把 A 、 B 分别折到 a 、 b 上

文章插图
容易看出，它们实际上对应着不同的几何作图操作。例如，操作 1 实际上相当于连接已知两点，操作 2 实际上相当于作出已知两点的连线的垂直平分线，操作 3 则相当于作出已知线段的夹角的角平分线，操作 4 则相当于过已知点作已知线的垂线。真正强大的则是后面两项操作，它们确定出来的折痕要满足一系列复杂的特征，不是尺规作图一两下能作出来的（有时甚至是作不出来的）。正是这两个操作，让折纸几何有别于尺规作图，折纸这门学问从此处开始变得有趣起来。
更有趣的是，操作 5 的解很可能不止一个。在大多数情况下，过一个点有两条能把点 A 折到直线 a 上的折痕。

文章插图