聚合：从表格和均值到最小二乘 | 统计学七支柱( 七 ) _统计

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图1-10　博斯科维奇的5个弧长数据。各列（用我们的记号）对 i = 1~5的每个弧给出了维度Li（用°表示）、sin2 Li [ = 1/2·(1 - cosLi ) = 1/2·versin Li ]、Ai（hexapedae ，用突阿斯表示的长度）、Ai - A1的差、使用弧1和5的解的差，以及这些差之间的差。好望角的sin2 L值应该是3014 ，而不是2987（参见Boscovich 1757）

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图1-11　博斯科维奇计算的10对弧，对应每对弧都给出极地超额y以及椭圆率e = 3y/z 。(2, 4)和(1, 3)的椭圆率印刷有误，应该是1/1282和1/178 。(1, 4)的数字有误，应该是560和1/304（Boscovich 1757）
博斯科维奇现在进退两难。5个测量的弧不一致，他应该随便选择其中一对并接受这个结果吗？恰恰相反，他创造了一种真正新颖的聚合方法，给出了综合5种结果后的客观答案。博斯科维奇认为，数据中最不可靠的要素就是弧的测量。这些弧需要在极端困难的环境下仔细测量，从巴黎和罗马附近的森林到非洲之角，再到拉普兰的冰冻苔原，以及世界另一端的厄瓜多尔平原。而且，几乎不可能为了进行检查而重复这些测量。根据方程A = z + ysin2L ，博斯科维奇进行了如下推理：z 和y 的每个选择都隐含着A的一个对应值，并且这个值和观测值的差可以认为是一种调整，需要对观测的A进行这种调整以使测量匹配方程。所有可能的z 和y中，隐含着“寻找调整绝对值总和的最小值”的目的，还假定选出的z 和y 与各个A的均值和各个L 的均值相一致。博斯科维奇给出了一种聪明的算法求解最佳值，就是现在所谓“线性规划问题”的早期实例。对于这5个弧，根据他的方法求出的答案为：z = 56 751、y = 692、e = 1/246 。
接下来的半个世纪，人们提出了多种方法，通过某种聚合形式整合不同条件下不一致的测量。最成功的方法是最小二乘法，它在形式上是观测的加权平均，而优势是很容易扩展为其他更复杂的形式，从而决定多个未知量。1805年，阿德里安-玛丽·勒让德首次公布了这种方法——在一本解释如何确定彗星轨道的书中。勒让德给出了说明测定地球椭圆率的例子，采用的测量是法国大革命之后定义“米”的长度的方法。这些数据给出的椭圆率是1/148 ，这个数值很大。但由于弧的范围更短（只有10°的纬度，全在法国之内），并且与其他值不一致，因此人们认为它还不如早期从赤道到拉普兰范围内的测量。所以，最终的“米”是基于不同考察的混合值而决定的。
聚合具有多种形式——从简单的加总到不透明抽检的现代算法。但是，使用概括取代完全枚举个体观测的原则，和通过选择性地丢弃信息以获取信息的原则，都是一脉相承的。