聚合：从表格和均值到最小二乘 | 统计学七支柱( 二 ) _统计

唉！水手们和吉尔伯特“痴心错付”了。1653年，亨利·盖里布兰德比较了伦敦同一地点、时间相隔50多年的一系列磁针变化的测定，他发现这些变化已经发生了相当大的变动。1580年，真正的北方需要向东修正11°；而在1634年，修正已经减少到大约向东4° 。这些早期测量结果的每一个都是基于几个观测值进行的计算，仔细分析后可以发现，这些观测者们也都各自在朝着“使用算术平均”摸索前进，但从未明确说明要这么做。
1581年，威廉·布劳出版了一本题为《指南针或磁针变化的一个讨论》的小册子，是早期测定指针变化的一份最佳记录。在第三章中，他描述了测定变化值的一种方法，这种方法不需要预先知道真正北方在观测点的什么方位，他还实际演示了一次，在伦敦东部尽头的港口区莱姆豪斯，那地方距离格林尼治子午线不远。他提出使用一个星盘——其实就是一个标有刻度的铜盘，垂直悬挂的同时用一个取景器观测太阳并记下它的高度。每当太阳到达一个新的高度角（在中午之前上升，在中午之后下降），他就观察并记录罗盘表面一条阴影线的方向，这样可以取得太阳与磁北偏差的一个读数。太阳抵达子午线时，高度角会达到最大值，那时它在真正的北方（如图1-1所示）。

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图1-1　布劳使用的罗盘。垂直的柱子在罗盘北端，标记着一朵鸢尾花。附加的首字母R. N. 指罗伯特·诺曼（Robert Norman），他预定了布劳的小册子。布劳在文中所指的罗盘上的“点”不是显示的8个点，而是由分割线将其间隔再分割为4部分，因此整个圆划分为32个部分，每个部分的大小为11°15'（参见Norman 1581）
布劳会考虑在同样的太阳高度角进行的每一对观测结果，一次在上午（图1-2中的Fornoone ，以下命名为AM），另一次在下午（图1-2中的Afternoone ，以下命名为PM）。一方面，如果莱姆豪斯的真正北方与磁北一致，那么共同值应该是（接近）两个测量的中点。因为太阳经过了一个对称弧度，在子午线（“正午”）的角度最大。另一方面，如果磁北位于真正北方以东10° ，那么早晨的阴影应该向西偏10° ，并且下午的影子也一样。无论哪种情况，成对观测的平均值应该就是磁针的变化。布劳1580年10月16日观测的数据表格如图1-2所示。

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图1-2　布劳1580年在伦敦附近的莱姆豪斯对磁针变化的观测数据（参见Norman 1581）
他有9对数据，取自高度角从17°~25°的上午变化（偏西的角度）和下午变化（偏东的角度，因此和早晨的符号相反；除了25°的下午测量，它稍微有点偏西）。因为上午和下午的符号不同，可以发现，图1-2右侧栏中的变化是变化差除以2的结果。例如，对于在太阳高度角23°的观测对，我们有

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计算出的这9个测定值相当接近，但又不完全相同。布劳是如何决定报哪一个数字的呢？在前统计时代，很明确是需要数据报告的，但又因为没有一致认可的一套概括方法，故而也就不需要描述什么概括方法，实际上也没有先例可循。布劳的答案很简单：参考右侧栏，他写道， “经过综合考虑，我确信莱姆豪斯真正的磁针或罗盘的变化是11又1/4°或11又1/3° ，这刚好是罗盘上的一个点或稍多一点儿的值” 。他给出的值是11°15' ，不能对应到任何现代的概括度量上——它小于均值、中位数、中点以及众数。它符合22°高度角的值，并有可能就是这么选出的。但为什么23°高度角的数字会给出11°20′呢？也或许和他四舍五入到与“罗盘上的一个点”相一致，即11°15' ，罗盘上每相邻2个点之间的距离。无论如何，布劳认为没有必要给出正式的折中。他可以取上午和下午同一个高度角的平均值，但他用了一种聪明的做法：使用观测的对比得到结果，而不使用基本相等的观测的组合。“平均”就是一种“前减后”的对比。