高中微积分的基本定理是什么 微积分的基本定理是-

上一文提到牛顿莱布尼兹发现了积分和微分是一对互逆运算 。好 , 既然要用反向微分的方法求面积 , 那我们就去找f(x)=x2的原函数 , 看看到底是哪个函数求导之后变成了f(x)=x2 。我们用F(x)来表示这个原函数 , 那么F(x)就是它(C为常数):

高中微积分的基本定理是什么 微积分的基本定理是-

文章插图
大家不放心可以自己去验算一下 , 看看这个F(x)求导之后的结果是不是f(x)=x2 。
因为求导是一个非常重要、基础的东西 , 所以求一些常见函数的导数和原函数都被一劳永逸的制成了表格 , 大家需要的时候直接去查 , 记住几个常用的就行 。不过 , 在学习的初期 , 大家还是要亲自去算一些求导的例子 。
有了f(x)=x2的原函数F(x)以后 , 怎么去求f(x)和x轴在0到1区间里围成的面积呢?前面已经分析了 , 原函数具有积分的效果 , 而积分就是曲线围成的面积 , 所以原函数也可以表示曲线围成的面积(为了方便理解 , 这里我们先不考虑常数c的影响 , 反正函数相减的时候常数c会抵消掉) 。
因此 , 我们要求f(x)与x轴在0到1区间内围成的面积 , 直接用这个代表面积的原函数F(x)在1处的值F(1)减去在0处的值F(0)就完了:
【高中微积分的基本定理是什么 微积分的基本定理是-】
高中微积分的基本定理是什么 微积分的基本定理是-

文章插图
对 , 你没看错 , 这样就完了 。
F(1)-F(0)就是曲线在0到1之间围成的面积 , 我们这样得到的结果是1/3 , 跟我们原来用矩形逼近计算的结果一模一样 , 惊不惊喜 , 意不意外?但是它明显比原来的方法简单太多太多太多了 , 简单到一个中学生都能轻而易举地算出来 , 这才是微积分的真正力量 。
有了这样的铺垫 , 微积分基本定理(牛顿-莱布尼茨公式)就非常容易理解了:如果函数f(x)在区间a到b之间连续(简单理解就是曲线没有断) , 并且存在原函数F(x) , 那么就有:
高中微积分的基本定理是什么 微积分的基本定理是-

文章插图
这是式子的左边就是函数f(x)与x轴在a到b区间内围成的面积 , 这点我们在讲积分的时候讲过了:
高中微积分的基本定理是什么 微积分的基本定理是-

文章插图
式子的右边就是原函数在b点和a点的差 。意义也很明确:函数反向求导得到的原函数F(x)本来就表示面积 , 那么F(b)-F(a)自然就是这两点之间的面积之差 。于是公式左右两边就都表示面积 , 完美!
这就是微积分的基本定理 , 这就是微积分的核心思想 。
高中微积分的基本定理是什么 微积分的基本定理是-

文章插图
相信大家一路看到这里 , 要理解这个已经不是什么难事了 。所谓牛顿和莱布尼茨发明的微积分 , 本质上就是他们看到了“积分和微分是一对互逆运算” , 于是我就可以使用“反向微分(求原函数)”的方法来处理积分的问题 。