形式逻辑的数学原理(6): 证明

所谓证明，是一种有目的推理。证明即从一组真命题推导至某一给定命题 P ，以确定P的真伪。例如，著名的苏格拉底三段论就是从两个前提命题推导出一个结论命题：所有人都会死苏格拉底是人因此苏格拉底也会死基于上述分析，本帖尝试给出逻辑证明的严格数学定义如下。设H₁, H₂, H₃, … Hn为真值为1的命题， C为满足一阶语法的任意命题，若<H₁,H₂,H₃,…,Hn>→C为重言式，则:1）从<H₁,H₂,H₃,…,Hn>到C的推理称为一个关于C的一阶逻辑证明，记为P(Hn,C)；2）<H₁,H₂,H₃,…,Hn>称为P(Hn,C)的前提；3）C称为P(Hn,C)的结论；4）当<H₁,H₂,H₃,…,Hn>→C为重言式时，称P(Hn,C)有效。根据定义，有：P(Hn,C): <H₁,H₂,H₃,…,Hn>→C由此可见，一阶逻辑证明是从<H₁,H₂,H₃,…,Hn>到C的一个映射(mapping) 。前提集合的任何变化，都有可能导致结论的变化。只有当<H₁,H₂,H₃, …,Hn>→C在所有赋值情形下都成真时，其结论方为有效。