分析一道函数创新题微信朋友圈昵称为“vick”的朋友是个爱

微信朋友圈昵称为“vick”的朋友是个爱思考的童鞋，问到了这样一道函数综合题题：

这哪是考数学啊，分明是考语文不是，文字表述好长.

的确，阅读能力也是数学解题水平的构成之一.

对待创新题要听话

分析：本题也属于创新题.在创新题“H数列”、数列创新题2例中，我们谈到解决此类问题的关键就是“听话”.

这个新定义涉及到三个函数，有了f(x)和g(x)之后，h(x)就被确定了.

我们逐一分析这三个函数.

f(x)是由对数和二次组合而成的函数，但是含有参数a，也就是说，f(x)的解析式随a的变化而变化.

g(x)就比较奇葩了：没有给出具体解析式.幸运的是，题中给出了关于g(x)的函数方程.

下面要讲一个重要技能，就是根据函数方程求解g(x)的解析式.

常用的方法有代换法、方程法等.根据本题的特点，我们选择方程法.

结合选项分析，事半功倍

不要急着研究h(x)，看选项.

(1)(2)都是在a=1时研究h(x)的性质，所以我们首先研究当a=1时h(x)的解析式.

下面逐一验证选项(1)，(2).

接着说(3).

若函数f(x)在(0,2)上不单调，则f"(x)在(0,2)上有变号零点.

(仔细思考上面这句话)

对勾函数的图象是双曲线

最后看结论(4).

F(x)就是我们通常所说的“对勾函数”（有的地方叫双勾函数，耐克函数，随你啦）.

对勾函数的图象其实是双曲线，如果换一个角度去看的话，和我们在圆锥曲线中学到的双曲线并无二致.

图中蓝色虚线就是双曲线的对称轴.

既然是双曲线，就有渐近线.

回到第(4)问.

特殊值法显奇功

结论(4)的意思是说，总存在满足题意的点M,N.我们不妨从特殊值出发，对b进行取值，验证几个试一试.

不妨取最常见、最简单的数值.取b=1,a=1，则函数的图象如下.

显然，当M，N不在同一支双曲线时，角MON为钝角，正切值为负值，不可能为1，不符合题意.

当M，N在同一支双曲线上时，从图能够看出，角MON始终小于π/4.

故当b=1,a=1时，不存在M,N两点，使得tanMON=b.(4)错误.

所以真命题只有1个，选A.

推荐阅读：集合创新题，考你的逻辑思维

上一篇：数学解题三原则

--END--

苹果手机用户专属赞赏二维码