外星人的算术外星人的算术多年以前

外星人的算术

多年以前，华罗庚先生曾写过一段意味深长的话，他说：

“如果我们的宇宙航船到了一个星球上，那儿也有如我们人类一样的高级生物存在，那么我们用什么东西作为我们之间的媒介，带幅画去吧，那边风景殊，不了解；带一段录音去吧，也可能沟通，我看最好带两个图形去一个“数”一个“数形关系"。”

青少年们喜欢阅读科学幻想小说，这对发展他们的想象力大有好处，当然也得防止一些盗墓故事的泛滥，那可是十足的歪门邪道，其实我国著名作家老舍先生也曾写过科幻小说名叫《猫城记》，有趣的是在那个奇怪的星球上，数目也达十几亿之多的”人“同我们大不一样，他们不是从猿到人，而是从“猫”进化到“人”的！

外星人像人吗？对于这个重大问题，不论在科幻小说、电影、电视里头从来就有两派意见，即“人形”（humanoid）与非人形（non-humanoid）之争，人为万物之灵，为了更好的获取外界信息，视觉，听觉，嗅觉器官必须安置在身体的最高点，为了有立体感，必须平行的朝前方；……；说到底，人形的结构理应是任何高等智慧生物的标准结构，上述观点，你们认为言之有理吗？

“非人形”派的拥护者则认为，这种推论是“人类中心主义”的典型例子，实在不值一笑，生命的形式是变化多端的，生物进化过程中充满着无数偶然因素，在别的星球上，”人“可能由“虫”进化而来，甚至生着千手千眼，总之在浩瀚的银河系里，这是一片完全未知的领域，它带来了无穷的可能性。

但科幻小说家们几乎都有一种共识，有着高度智慧的外星人——天龙八部（金庸先生精通佛学，所以取此作为他的一部名著的书名。实际上，天龙八部在“六道”中属于“阿修罗道”，其智慧神通与寿命都大大超过人类）必然精通数学。他们的算术与代数不见得同我们一样，也许并不采用十进制，但他们所使用的进位制中，照样能够发展出一套近乎完美的计算方法，同样能够反映宇宙中客观存在的普遍自然规律。

众所周知，在世界各国，现在几乎已经是十进制的一统天下，就连最保守的英国人也不得不适应世界的潮流，改革了他们长达几百年的货币制度。从前，在丘吉尔做首相的时代，规定一英镑=20先令，一先令=12便士，所以一英镑=240便士，如今却变成1英镑=100便士了。

但也不能认为，十进位已经排斥了其他的一切进位制度，由他一家打天下了，君不见:一年分四季，一昼夜有二十四小时，一星期有七天，十二生肖每十二年周而复始，一小时有六十分钟，一分有六十秒，以及“红透半边天”，在电脑里头唱主角的二进位数0与1，它们都不是十进位。看来，即使再过几百年，在地球上，十进位制，也未必能够把别的所有进位制通通“吃”掉。

在我们的中、小学里，除角度时间等少数自然常识课里略微提到的例外：几乎不讲其他进位制，这种做法有着很大缺点，造成学生缺乏想象力，目光短浅，淡化了对客观世界多样性与自然规律的认识与理解，在这方面做些改进，既是需要的，也是可以做到的。

为了做出有趣对比，让我们把一个意义深长的分数七分之一，在其他进位制里所表现出来的不同面貌列举如下:

十进位：0.142857…，（1,7循环，循环节7位）

九进位：0.125125…（仍是循环小数，但循环节只有三位了），

八进位：0.111…（循环节只剩一位了），

七进位：0.1，（不是循环小数，竟变成有限小数了），

六进位：0.0505…，（循环节只有两位了，0，5循环），

到此地步，6及其因子，3，2，1，都可作为循环节的节数，各种情形均已出现。

现在干脆来个“一不做二不休”，索性放开手，继续做下去：

五进位：0.032412（循环节也有六位置多，同十进位的情形极为类似，5是一只手的手指数，而10是双手的手指数，对此你或许会若有所悟）。

四进位：0.021021…，（循环节三位，0，1循环）

三进位：0.010212…，（循环节六位，0,2循环）

二进位:0.001001…，（循环节三位，0,1循环）

由于许多算数课本、杂志、辅导书:“一课一练”……一遍又一遍地不断重复，许多人都知道在十进制中，1/7有一个非常奇妙的“车轮转”性质，或者换一种说法，1/7是个“走马灯数”，试看来源于1/7,又从它“摇身一变”，从“侏儒”变作“巨人”的六位数142857似乎更神奇，更玄乎:

142857×2=285714

142857×3=428571

142857×4=571428

142857×5=714285

142857×6=857142

不难看出，乘积还是这6个数字，甚至各数相互之间的顺序也未改变，好像正月十五元宵节时，走马灯里的人物在团团打转！

那么，在其他进位制中，这样的怪异性质是否也存在呢呢？对比是要有共同基础的，上面已经说过，在五进位中，1/7的循环节也有六位，现在就以五进位为例来认真考虑一下。

为了看清楚转圈子的循环规律，首位的0不可以丢，需要加以保留，银行帐号，电话号码，邮政编码早已如此，读者们恐怕也习惯了:

032412×2=120324

032412×3=203241

032412×4=241203

032412×5=324120

032412×6=412032

“走马灯”不是照旧团团转吗？

还有一项奇妙性质也不能忽视，那就是142857×7=999999

结果接连出现6个9,我们知道，在十进位里，9是“老大哥”，不过，在别的进位里，“老大哥”这把太师椅是要由别的数字来“坐”了，譬如说:在九进位中，8是“老大哥”，而四进位里，连原来的小三子居然也变成了“老大哥”。

让我们用“倒计时”的办法在各种进位制里做一做相应的“乘法”，于是得到:

九进位:125125×7=888888,

八进位:111111×7=777777,

七进位中，1/7不是循环小数，所以从略，

六进位:050505×7=555555,

五进位:032412×7=444444,

四进位:021021×7=333333,

三进位:010212×7=222222,

二进位:001001×7=111111,

大家都在“轮流坐庄”，足见自然界并不是特别偏爱十进位，自然规律如此美妙，普适性无处不在，让我们大开眼界了。

最后略为交代几句，因为我们平时太习惯于做十位数的加、减、乘、除，对其他进位制中的运算（除了二进位，因为电脑现已十分普及）非常生疏，所以一些人会对1/7的不同面孔有点看不太懂，这是情有可原的。

*文章摘自《数学不了情》，谈祥伯著，科学出版社。