千呼万唤始出来，犹抱域套半遮面——高数污王登场！
它就是老大
不服来辩啊
老二拉格朗日中值定理（传送门）登场的时候，通过留言超模君知道很多模友都猜中了老大，没错，
就是
闭 域 套 定 理。
//
千呼万唤始出来，犹抱域套半遮面，你知不知道，我等到花儿都谢了！//
那么，闭域套定理是如何击败夹逼准则和拉格朗日中值定理，登上污王的宝座呢？请看：
孙悟空拔一根猴毛，吹出5个小猴子
我们的闭域套定理也有这个技能，弹指一挥间，它就能变出（
推出
）五个小兄弟：单调有界定理、确界原理、柯西收敛准则、聚点定理、有限覆盖定理。
所谓实数完备性六大基本定理，它们之间的互推成了数学专业考研的“噩梦”！
事不宜迟，现在就来揭开老大的神秘面纱吧。当然不是每个人都有这个权利，我们请来了能说会道的闭区间套（
闭域套
）先生，
他给我们讲了一个“有趣”的故事：
从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚和一个小和尚，有一天，老和尚对小和尚说：从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚和一个小和尚，有一天，老和尚对小和尚说：从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚和一个小和尚，有一天，老和尚对小和尚说.......(
陷入无限循环中
)
看似简单的故事，实际上蕴含着闭域套先生的丰富内涵：
在故事开头，山好比是第（1）个闭区间，庙好比是第（2）个闭区间，里面两个和尚就是闭区间（3）。老和尚对小和尚说的话中的山好比闭区间（4），话中的庙好比闭区间（5）……如此反复下去，到什么时候才停止呢？
在上图中我们可以看到，当闭区间一个套一个，会不会有某个闭区间的长度是0呢？也就是故事到此结束，这就戳中了闭域套先生的“累点”，他的确有这个性质。
既然出现了极限，超模君想，如果把
bn-
an单独拆开，
an的极限存在吗？跟b
n的极限又会是相等吗？
让我们的老大来告诉你，这不是tan90°，也不是56阶单群（
PS：56阶单群是不存在的，所以这个梗跟tan90°是一样的
）。
换句话说，无论你的故事里有多少座山，多少座庙，多少个老和尚还是小和尚，总有一个时刻，该故事会画上圆满句号，或者说故事必有结局。
到这里，或许有模友就疑惑了：好好的闭区间，为何给它一个“闭域套”这么污的名字？
这你就不懂老大了，正所谓白道黑道都有人罩，才是幕后的老大。
《疯狂动物城》中的“老大”
老大的背后，可是被推广成更庞大的定理：闭长方体套定理（
3维情形也称中国盒定理
），闭球套定理，闭区域套定理，闭集套定理……
从简单的闭区间套，到我们还可以想象的闭长方体套，闭球体套 ，再到难以想象的
Rn上的闭区域套，超乎想象的完备度量空间上的闭集套，这中间经历了多少风风雨雨，依然是一个套着一个，无论直径怎么变化，那个唯一的点，始终藏在灯火阑珊处。就好比那个最真挚的人，哪怕生活多少变化，自始至终与你十指相扣，陪你慢慢地走向幸福的终点站。
看不懂这深奥的甜言蜜语？没关系，来个恋爱例题练练手：
设一个男生正在追求一个女生。
他每次会为自己设定一个表白的最早时刻和表白的最晚时刻，且每次设定的最早时刻都比上一次设定的晚，每次设定的最晚时刻都比上一次设定的早。
如果每次所设定的这两个时刻越来越接近直至几乎重合，那么该男生存在唯一的脱单时刻。
那么，有了闭域套定理，就可以安全地和拉格朗日中值定理睡觉了！看看在床上的闭域套定理是怎么推倒（
推导
）拉格朗日中值定理吧（
单纯点也可以理解为老大吹出的猴毛中有一根是老二
）。
首先我们可以回想一下老二（
传送门
），看看老二是长什么样的。
我们先给出一个引理：
超模君想通过图像直接验证，但是弄了好久，还是有误差
最后决定放弃图像法，用理论计算来证明吧（
FBI WARNING：以下内容难度较大，涉及数学分析基本方法，需要大量思考
）
我们构造一个函数：
这是啥呀！先别急，我们看看两个特殊点的函数值
咦，这两个点的函数值恰好是相反数！正是利用这个特点，我们分两种情况讨论
Case 1：
动动手指头计算一下，得到
这不就证明了么~
Case 2：
这样就证明完了我们需要的引理，怎么样，是不是很简单？
有了这个引理，就可以很好地召唤闭区间套，来证明拉格朗日中值定理了！
反复利用这个引理，可以得到闭区间套{[
a
n，b
n]}，并且它们满足下面三条性质（请记住第三条
）
有了闭区间套，老大可以派上用场了，利用闭域套定理，必有
回想一下拉格朗日中值定理的前提条件，很容易知道
中途休息，我们来翻一下淑芬或高树课本，回忆无穷小的知识点……
上面两个式子相减，再同除以
b
n-a
n得到
好了，有了这个式子，离拉格朗日中值定理，也就是我们的老二不远了，一瞪眼儿就可以看出等式右边后两项的极限为0（
当然也可以留给聪明的模友们思考
）
最后得到一个简化版的柿子
不知道大家是否还记得上面闭区间套{[an，bn]}的第三条性质，这，这不就是老二了嘛！
证毕！
如果说，你是海上的烟火，我是浪花的泡沫……不好意思，唱错台词了！如果说老大没有用到夹逼（
老三
）的思想，那就太天真了，老大可是包罗万象的。
我们构造一个数列cn，
称它为小鲜肉，从出生那天（
n=1代表一岁
）开始，它就围绕在父母（
an和bn
）爱的怀抱之下：
如果父母还为小鲜肉建立了一座温室套房（
{[an，bn]}是闭区间套
），这时
老大
闭区间套定理和老三
夹逼定理告诉我们：
小鲜肉
c
n的极限是存在的，并且和an与bn
的极限是一致的。虽然有一天小鲜肉会长大成大肥肉，想脱离父母的爱，但是他们做不到，始终心系孩儿，哪怕尽一份力，也要给予全部的爱。
到此为止，一下子把老二老三握在五指之中的闭域套定理，特别是证明老二的时候，闭域套定理使出了浑身解数。老大，它当之无愧吧！
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