量子力学|连续性方程—最实用的方程之一，它是如何体现守恒定律的？( 二 ) 量子力学

什么是扩散？
扩散是任何东西（例如，原子、离子、分子、能量）从高浓度区域向低浓度区域的净移动。
例如，有一个房间，在它的一个角落释放一团气体，然后气体会扩散，在一段有限的时间内填满整个房间。它会从浓度较高的区域（气体所在初始角落）移动到浓度较低的区域（房间的其余部分）。
扩散并不神奇。简单地说，由于在房间的初始角落里有许多气体粒子，那么这些粒子发生碰撞的概率就会更高。随着越来越多的碰撞发生，粒子将随机地散落在空间中。如果它们最终出现在没有很多其他粒子的区域，那么它们可能会留在那里，因为碰撞的概率大大降低。如果它们最终出现在同一个角落，它们可能会再次散开，直到它们弥漫整个房间。
但我们需要一种数学方法来表达这种过程。这就是菲克定律发挥作用的地方。
注意：在下面的方程式中，凡是你看到希腊字母φ（Phi）的地方，实际上就是密度ρ 。 Ι没能找到使用ρ的方程式的图像。

三维的菲克定律

我们现在可以使用这个通量公式，并将其代入连续性方程，以得出称为扩散方程的东西（为简单起见，我们假设Sigma=0）。

扩散方程

其中。

Δ = ?^2 ，拉普拉斯算子。
D是一个比例常数，通常被称为扩散性。
φ是体积密度。

扩散方程最常用的地方之一是热方程，热方程经常出现在工程和物理问题中。
连续性方程的更多应用?电磁学

连续性方程，电荷守恒

在电磁理论中，连续性方程是电荷守恒的一种表达。在这种情况下，强度量是体积电荷密度ρ ，即每单位体积的电荷量，而通量是电流通量或通常所说的电流密度J 。我们假设没有电荷的源和汇，因此σ=0 。
流体动力学

连续性方程，质量守恒

在流体力学中，连续性方程基本上是一个数学表述，即质量进入一个系统的速度等于质量离开系统的速度。它是质量守恒的一种表达。强度量是流体的密度ρ ，而乘积密度乘以速度就是我们已经讨论过的通量。我们再次假设没有质量的源和汇。
当我们处理不可压缩的流体（其密度在流动过程中不发生变化的流体）时，上面的方程可以进一步简化。由于流体的密度ρ是恒定的，那么它的导数就是零。此外，我们可以在发散项中剔除ρ ，最后得到以下方程。

不可压缩流体的质量守恒

这是描述流体流动的两个著名的纳维尔-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）之一。
量子力学

连续性方程，概率守恒

任何研究过量子力学的人都知道，这都是关于概率的。我们从不确定粒子的属性（如它们的位置或它们的动量），试图计算它们具有特定值的概率。考虑到这一点，在整个空间守恒的量是概率密度。此外，我们可以定义该概率的通量，称为概率流。同样， σ=0 。
最后?【量子力学|连续性方程—最实用的方程之一，它是如何体现守恒定律的？】连续性方程是一种更强的局部形式的守恒定律。例如，能量守恒定律的一个弱化版本指出，能量既不能被创造，也不能被毁灭，即宇宙中的能量总量是固定的。这一说法并不排除这样的可能性：一定数量的能量可能从一个点消失，同时出现在另一个点。一个更有力的说法是，能量是局部守恒的：能量既不能被创造也不能被摧毁，也不能从一个地方 \"传送 \"到另一个地方，它只能通过连续的流动而移动。连续性方程是表达这种说法的数学方法。