Google地图天天用地图，而现在才发现百度、高德、谷歌地图都是“错误”的 |百度|Google|数学|

最近看到一些有趣的数学资料，突然很感兴趣，然后把之前学的矩阵、积分温习了一下，为了验证学习成果，于是找出著名的墨卡托投影公式，看是否自己能看懂？
随着深入的了解与学习，发现市面上的主流地图都基本用墨卡托投影来绘制地图，而墨卡托投影的地图有个比较有争议的诟病，就是越往两极（南极、北极），地图的比例越失真，请看如下图：

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深南色才是实际面积
大家看到上图的俄罗斯的面积没有，绘制的面积（浅蓝色）比实际的面积（深南色）大很多，比例严重失真了。或者再看看下面的动图，更形象：

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真实比例动图
大家此时会问，这么严重的‘’错误“ ，难道百度、腾讯、高德、谷歌这些千万亿级的“独家兽”不懂吗？答案是否的，因为墨卡托投影的地图有个好处，就是“保角” ，对于航海的导航是非常友好的。
我们对墨卡托投影作如下一个分析：

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球形地图
我们现在假设地球是圆形的球体（实际是椭球体），半径R=1 ， D点的维度是θ ，那D点所在的圆形的半径就是1 * cosθ = cosθ，所以D点所在维度的圆形的周长是2πcosθ ，但投影时要拉伸到2π（赤道的周长），因为最终的投影时长方形、正方形。但问题来了， D点的投影横向拉伸了1/cosθ倍，那纵向的投影应该也要拉伸1/cosθ倍。

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保角
这是大家可能会说，直接把D点维度乘以1/cosθ就可以了。但是这是与赤道的点保角，而我们的重点应该是任意两点的“保角” 。
想象一下纬度很小的一块土地。当它在地图上显示时，它会水平拉伸\ secθ 。因此，为了保持一致性，还必须将其垂直拉伸secθ 。
但这仅在一块土地没有面积的情况下才有效。但是由于所有土地，无论多么小，都有一定的面积?? ，这片土地的纬度不是θ ，而是从θ到 θ + Δθ 很小的 Δθ 。同样，这块土地在地图上所占??据的空间不仅仅是y ，而是从y + Δy很小的地方开始Δy 。所以公式推导如下：

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公式推导
而另外还有一个推导，这个推导也被广泛使用。因为发明墨卡托投影时，并没有积分、对数等工具。而1614年，约翰·纳皮尔（John Napier）发明了对数，很快发现它们在计算中非常有用。如此有用，不仅发布了对数表，而且还发布了三角函数的对数表，其中包括1620年的切线对数表。
在1640年代，一个名叫亨利·邦德（Henry Bond）的男人正巧同时看两张表格：赖特（Wright）的表格和正切对数表。他注意到一个巧合：似乎与相同。他在1645年将其作为猜想而发表：

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如今，要验证这一点，您要做的就是注意它们在θ=0：