「科技世界之最」最早提出剩余定理的人——孙子算经

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「科技世界之最」最早提出剩余定理的人——孙子算经

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《孙子算经》约成书于四、五世纪,作者生平和编写年代都不清楚 。现在传本的《孙子算经》共三卷 。卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则,卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法 。卷下第31题,可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖,后来传到日本,变成“鹤龟算” 。《孙子算经》具有重大意义的是卷下第26题,载有“物不知数”问题,在世界上最早提出了剩余定理:“今有物不知其数,三三数之剩五,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”意思是,有一批对象,不知道它的数目,3个3个地数最后剩2个,5个5个地数最后剩3个,7个7个地数最后剩2个,问这批物件一共是多少?显然,这相当于求不定方程组:N=3x+2,N=5y+3,N=7z+2,它的正整数解N,或用现代数论符号表示,等价于解一次同余组 。可是,《孙子算经》没有采取简单的方法试算,而是指出了科学的剩余计算方法:三三数之,取数70,与余数二相乘;五五数之,取数21,与余数三相乘;七七数之,取数15,与余数二相乘 。将诸乘积相加,然后减去105的倍数 。列成算式就是:N=70×2+21×3+15×2-2×105,答案是N=23 。
孙子算法的关键,在于70、21、15这三个数的确定 。明代《算法统宗》中的“孙子歌”(三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百令五便得知)中也暗指了这三个关键的数字 。
【「科技世界之最」最早提出剩余定理的人——孙子算经】虽然没有说明这三个数的来历,但其列出的式子完全符合现代数论中著名的剩余定理的计算 。
“物不知数”问题,后经南宋数学家秦九韶于公元13世纪中叶研究发展为“一次同余式理论”,而欧洲德国数学家高斯研究出同一定理时,已经是公元19世纪初的事情了 。公元1852年,英国基督教士伟烈亚士(1815~1887年)将《孙子算经》“物不知数”问题的解法传到欧洲 。公元1874年,马蒂生指出孙子的解法符合高斯的定理,从而在西方的数学史里将这一个定理称为“中国的剩余定理” 。