概率题的二三事概率问题的题目 _小知识

1．提到概率，大概率有陷阱
2．题不难，解题思路难
3．「迟到区间（相遇区间）」的本质
4．这道题很简单呀？怎么正确率这么低
5．「分步骤」概率题的最常用技巧
封面图片来源：https://unsplash.com/photos/nJdwUHmaY8A
本文包括了近年来和「概率」有关的5道难题，其正确率均在40%以下，很值得用来测试自己的实战水平。
各位小伙伴不妨仔细看看之前的系列文章，认真学习后再去做，用心检验下自己能否吃透这类高难度题型。
一、提到概率，大概率有陷阱【2018广西省考52题】某种商品出厂编号的最后三位为阿拉伯数字。现有出厂编号最后三位为001~100的产品100件。
从中任意抽取1件，出厂编号后三位数字之和为奇数的概率比其为偶数的概率：
（A）高2%
（B）低2%
（C）高4%
（D）低4%

文章插图
从中任意抽取1件，出厂编号后三位数字之和为奇数的概率比其为偶数的概率：
（A）高2%
（B）低2%
（C）高4%
（D）低4%
正确率27%，易错项C
【概率题的二三事概率问题的题目】本题条件非常简单，但数据很多，所以建议大家不要搞什么骚操作来「快速秒杀题目」（比如直接从2%、4%入手代入到100个数据中），老老实实逐步解析即可做对。
列出题干数据关系：
①001~100共100个数
②求后三位数字之和为奇数的概率比其为偶数的概率（高／低做少）
分析后可知，「后三位数字之和」其实分为三种情况。
第一种：编号为一位数，共9个，从001~009
前面的两个「0」对和没有影响。
因此总和为奇数的有5个（1、3、5、7、9），总和为偶数的有4个（2、4、6、8）。
第二种：编号为两位数，共90个，从010到099
前面的一个「0」对和没有影响。
不难发现，从10~19，奇5偶5；20~29，偶5奇5……90~99，奇5偶5 。
因此「每10个数」数字之和为奇数、偶数的都是5个，即90个数中有45奇数，45偶数。
第三种：编号为三位数，共1个，为100
该种情况有1个奇数，即100 。
因此总共有45+5+1=51个奇数，奇数概率为51%；总共有45+4=49个偶数，偶数概率为49% 。
即「数字之和为奇数的概率为51%，为偶数的概率为49%，高2%」，A「高2%」正确。
本题其实和概率关系不大，但正应了那句话，「提到概率，就大概率有陷阱」。这里有两个陷阱：
第一个：本题结构简单而数据多，很多考生都想要找解题的「捷径」，但最好的「捷径」就是一步一步根据题目问法来，没必要投机取巧。
第二个：本题问的是「奇数的概率比偶数的概率」，而不是「奇数的数量比偶数的数量」。如果问法是「数量」，那么C「4%」就符合要求了。
平淡的题目，朴实的解题思路，看似简单的陷阱——和特别低的正确率，这就是「概率题」。
二、题不难，解题思路难【2015河南省考38题】甲、乙两名实力相当（即每一局两人中任意一人获胜的概率相同）的棋手进行了7局4胜制的比赛，前3局赛完后，甲以2：1领先于乙。
甲获得最后胜利的概率是多少？
（A）2/3
（B）3/4
（C） 5/8
（D）11/16

文章插图
甲获得最后胜利的概率是多少？
（A）2/3
（B）3/4
（C）5/8
（D）11/16
正确率29%，易错项C
列出题干数据关系：
①7局4胜，甲乙实力相当
②甲2：1领先乙
③求甲获得最后胜利的概率
根据①「7局4胜」和②「甲2：1领先乙」可知，甲需要在「输给乙3局前」再「赢下2局乙」。列出所有可能：
（1）甲赢2局
（2）甲在2局中「赢1输1」，再赢1局
（3）甲在3局中「赢1输2」，再赢1局
直接将概率计算相加即可。由于4个选项都是分数，我们可以将甲乙获胜的概率用分数1/2表示。
第1种
1/2×1/2=1/4
第2种
C（2，1）×1/2×1/2×1/2=1/4
第3种
C（3，1）×1/2×1/2×1/2×1/2=3/16
合计概率为1/4+1/4+3/16=11/16，D「11/16」正确。
这道题的解析关键是「列出所有可能性」，尤其是「甲必须赢最后一局，在此之前必须赢一局，最多可以输两局」这个点必须清楚，否则是不可能做对的。
题目结合了「排列组合公式」和「概率」，不过非常简明，我们只需要知道「把甲赢的局插入输的局中，使用组合数公式计算」即可做对。
本题不难，但如果没有认识到解题思路，就可能花半天时间也做不出来。
三、「迟到区间（相遇区间）」的本质【2020年8月联考】某公司职员预约某快递员上午9点30分到10点在公司大楼前取件，假设两人均在这段时间内到达，且在这段时间到达的概率相等。约定先到者等后到者10分钟，过时交易取消。
快递员取件成功的概率为：
（A）1/3
（B）2/3
（C）5/9
（D）7/9

文章插图
快递员取件成功的概率为：
（A）1/3
（B）2/3
（C）5/9
（D）7/9
正确率39%，易错项B
列出题干数据关系：
①两人约定9点30分到10点
②两人在这段时间内到达概率相等
③先到者等后到者10分钟
④求等到的概率
本题还是两个思路，如果熟悉「直角坐标系」法，画出总面积和阴影面积计算即可，大部分公考培训机构都是这个思路，如图：

文章插图
作图后可知大正方形总面积为30×30=900，两个白色三角形（双方没有等到对方，取件失败）的面积为20×20÷2×2=400，因此取件成功的面积为900-400=500，概率为5/9 。
如果不熟悉「直角坐标系」法，我们还是可以用类似「迟到区间」的方式计算* 。
*具体思路可参照《概率题的二三事（2）——「简化模型」的极致应用》
解题思路如下：
双方约定时间的「区间」为30分钟，相互最多等10分钟，则可以将「区间」分为3部分，1部分10分钟。
从「职员」的角度看在前中后10分钟出现的几率均为1/3，这时候再结合「等10分钟」的条件代入快递员出现的几率，即可得出「能够等到」的几率，最后将3部分相加即可。
（1）职员在0~10分钟来
由于职员可以「等10分钟」，则：
职员在第0分钟来时，快递员在第0~10分钟来均符合条件，概率为1/3 。
职员在第10分钟来时，快递员在0~20分钟来均符合条件，概率为2/3 。
因此该区间的平均概率为（1/3+2/3）÷2=1/2
（2）职员在10~20分钟来
由于职员和快递员都可以「等10分钟」，则职员在该区间任意一个时段来，快递员都有20分钟的「能够等到」区间，概率为2/3 。
（3）职员在20~30分钟来
由于快递员可以「等10分钟」，则：
职员在第20分钟来时，快递员在第10~30分钟来均符合条件，概率为2/3 。
职员在第30分钟来时，快递员在20~30分钟来均符合条件，概率为1/3 。
因此该区间的平均概率为（2/3+1/3）÷2=1/2
因此「能够等到」的总概率为：
1/3×1/2+1/3×2/3+1/3×1/2
=1/6+2/9+1/6
=2/6+2/9
=1/3+2/9
=5/9，C「5/9」正确。
其实从本质上讲，「求迟到区间（或者相遇区间）」的方法和「直角坐标系」法是相同的，只不过找特定区间的方法更加容易理解，所以比较推荐大家用这种方法解题。
和《概率题的二三事（2）——「简化模型」的极致应用》不同的是，之前那篇文章介绍的题目是「坐公交车」，无论是乘客还是公交车，到车站后都会在原地等到时间结束；而本题更加复杂一些，双方只有10分钟的「等待区间」，因此符合条件的「相遇区间」就更狭窄、更复杂一些。
在本题中，可以把时间分为3部分。中间10分钟，双方各有对对方的10分钟等待时间，因此「相遇区间」就有20分钟；而前10分钟和后10分钟，「相遇区间」是有变化的，开头和结尾都只有1/3，而最靠近中间的时间段有1/3，因此总概率要取平均值。最后，将3部分概率相加即可。
总的来说，此类题目计算量并不大，计算过程也很简单，但找到正确解题思路很难，因此考生得分普遍较低，建议大家好好学习下。
理解「概率」的本质，就能理解为什么可以划分不同的区间来分段解析概率。
四、这道题很简单呀？怎么正确率这么低【2015浙江选调村官考试29题】古代边防传递信息用烽火台，已知每个烽火台发出的信号被下一个烽火台传递的概率是0.9，而每个烽火台不可能跳过前一个烽火台传递信号。
信号从第一个烽火台发出后，传递到第几个烽火台的概率开始小于0.5?
（A）第五个
（B）第六个
（C）第七个
（D）第八个

文章插图
信号从第一个烽火台发出后，传递到第几个烽火台的概率开始小于0.5?
（A）第五个
（B）第六个
（C）第七个
（D）第八个
正确率29%，易错项C
信号从第1个烽火台开始传递，传到第2个概率为0.9，依此类推（为方便计算，保留2位小数即可，除非结果特别接近0.5）：
第3个：0.81
第4个：0.729≈0.73
第5个：0.657≈0.66
第6个：0.594≈0.59
第7个：0.531≈0.53
第8个：0.477
由于0.477距离0.5相当远，因此之前的简化过程不会对结果有本质影响，D「第八个」正确。
这本来是一道送分题，但绝大部分考生被出题者戏耍了，误选了易错项C 。
这道题和一个经典笑话很像。
据说有个著名的心算大师，从来没有谁难倒过他。有一次，他在表演「心算」的时候，台下一个听众提出了一道简单的心算题，说一辆公交车在行驶的过程中，在A站上了10人，下了8人；B站上了5，下了7人……说完之后，心算大师自信满满地说出了公交车现有人数，结果听众的问题却是「公交车停了多少站」，心算大师当场傻眼。
本题也是如此，它虽然题干中带有「概率」两个字，解题思路也超级简单，但出题者考的不是考生算的准不准（事实上最后概率为0.47+，距离0.5还挺远的），而是测试考生在行测考场的紧张环境下能否冷静地审题。
不难看出，信号传递到第2个烽火台时，概率才从「0.9」开始降低，而不是从第1个烽火台开始就是「0.9」了。绝大部分考生误选了C，就错在这个看似极为简单的陷阱上面。
因为复杂的计算过程转移了注意力，所以这种类似「脑筋急转弯」的陷阱也有很强的杀伤力……
五、「分步骤」概率题的最常用技巧【2021山东省考38题】进入某比赛四强的选手通过抽签方式随机分成2组进行半决赛，已知小王在面对任何对手时获胜的概率都是60%，小张在面对任何对手时获胜的概率都是40% 。
小王和小张均在半决赛中获胜的概率为：
（A）2/15
（B）4/15
（C）3/25
（D）4/25

文章插图
小王和小张均在半决赛中获胜的概率为：
（A）2/15
（B）4/15
（C）3/25
（D）4/25
正确率24%，易错项C
列出题干数据关系：
①半决赛，随机抽签
②小王胜率60%，小张胜率40%
③小王、小张均胜利的概率
根据③可知小王、小张不能成为半决赛的对手。
由于半决赛4个位置没有区别，因此先将小王任意固定一个位置，可知没有抽中小张的概率为2/3（即小王、小张不是半决赛对手的概率为2/3）。
在此基础上，将双方均胜利的概率相乘，得：
2/3×60%×40%
=2/3×3/5×2/5
=4/25，D「4/25」正确
本题的解析关键为「先固定一个位置」。由于题干没有对半决赛的其他对手或半决赛的赛程作出特殊限制，因此小王（或小张）固定一个位置后，对概率不会产生任何影响，在此基础上继续解析即可轻松得出正确答案。
「固定一个位置」是分步骤「概率题」的最常用技巧，一定要掌握并学会在实战中应用。

概率题的二三事 概率问题的题目

概率题的二三事概率问题的题目