dy的真正含义是对这种变化的逼近 dy表示什么( 二 )


——《牛顿288》]


∵(因为) 在自变量的同一变化过程x→x0(x→∞)中 , 函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+α , 其中α是无穷小(证明见《牛顿309》);
…极、限、极限:见《欧几里得202~321》…
…α:Alpha(大写Α , 小写α , 中文音译:阿尔法、阿拉法) , 是第1个希腊字母…
…无、穷、无穷 , 小 , 无穷小:见《牛顿280~283》…


(△x→0)lim(△y/△x)=a=f’(x) 。


∴(所以) △y/△x=f’(x)+α , 其中α是无穷小 。
∴ △y=-f’(x)△x+α△x;(△x→0)lim α=0 。


[∵ 有限个无穷小的乘积是无穷小(证明见《牛顿316》) 。
∴ α△x是无穷小 。]


当△x趋近于0 , 显然有△y≈f’(x)△x 。
【dy的真正含义是对这种变化的逼近 dy表示什么】

现在我们将f’(x)△x定义为dy 。而△y表示的是函数值的变化 。显然dy的真正含义是对这种变化的逼近 。也就是说 , 我们定义微分 , 就是想借助微分这个工具来研究函数的变化趋势 。
…工、具、工具:见《欧几里得161、162》…
…研、究、研究:见《欧几里得42》…


从上面你可以明白两件事:第一 , 微分、即dy , 不是一个符号哦 , 是真的有具体值的 , 它的值为f’(x)△x 。
…符、号、符号:见《欧几里得160、161》…
…值:见《欧几里得74》…


第二 , 观察下f’(x)△x , 显然是一个关于△x的线性函数 , 因此微分其实在一点处 , 用一个线性函数的变化来逼近函数的变化 。
你懂的 , 线性的东西 , 其规律好掌握嘛 。
…规、律、规律:见《欧几里得43》…


好了 , 这下你明白微分到底是什么含义了吧 。
…含、义、含义:见《欧几里得193》…

dy的真正含义是对这种变化的逼近 dy表示什么

文章插图


“dy和dx表示的就是y和x的变化量 , 是一种具体的量 , 跟我们通常理解的变化差额没什么本质区别 , 只不过因为△X趋近0这种极限的性质 , 让他变得特殊一点而已 。
请看下集《牛顿323、微分是沿着极限、导数、微分这个次序架构的》”


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