直线和圆的位置关系及切线性质直线与圆的位置关系切线问题 _小知识

作者并非老师，在辅导孩子数学的这几年中，感觉到现在的数学教学都是切片式的，每个年级讲一点，时间跨度很大，孩子在学习过程中死记硬背，对其原理理解并不透彻。而初中的数学基本功对高中阶段的学习非常重要。所以打算自己来写一些教程，有别于教科书和参考书那样，仅仅是对知识点的罗列，会对每个知识点进行详细的说明，并给出证明过程（这点学校在教学过程中比较缺失）。希望能帮助同学们更好地融会贯通。
与点和圆的位置关系一样，直线与圆的位置关系也是三种：

相交，与圆有两个交点，叫做割线，? 直线l1与圆的距离d1 < r
相切，与圆有一个交点，叫做切线，? 直线l2与圆的距离d2 = r
相离，与圆没有交点，? 直线l3与圆的距离d3 > r

文章插图
对于第1，第2点，可以使用直角三角形的性质来证明，同学们可以自己想一下。
总的来说，直线与圆的位置关系可以通过以下两个方式来判断：

直线与圆相交点数
直线与圆的距离与圆半径的大小

割线我们会在后续章节（圆的弦和弧）来讨论，这里重点阐述切线的性质。
在这里，同学们是第一次接触到切线，会觉得很简单，其实切线的意义远不止于此，它是通往更上一层数学知识的台阶。到了高中阶段，同学们会发现数学的难度陡然直升，各种艰难、深奥的概念都会呈现在同学们的面前，想要学好高中数学，对初中数学知识掌握程度起到了非常关键的作用。
（在本系列内容中，我们不会去探讨相对深奥的知识点，而是以基本知识点为主，希望同学们能够彻底、扎实地掌握好。）
切线的判定定理：

根据基本定义，直线与圆只有一个交点，该直线为该圆的切线。

（这个判定方法很多同学容易忘记，在一些几何题中，我们可以使用解析几何的方式，构造两个方程：直线方程和圆方程，当它们只有一个解时，则直线与圆相切）

圆心到直线的距离等于半径，该直线是圆的切线。

文章插图
证明如下：
∵ 圆心O到直线l的距离（OA）等于半径，OA=r
∴ 所以A在圆O上
∵ 点O到直线l的垂足（垂线与直线的交点）有且只有一个，即为点A
∴ 直线l与圆O只有一个交点
∴ 直线l是圆O的切线
证明完毕

经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线

半径的外端就是值半径在圆上的这点，如上图半径OA，A就是半径的外端。以上这句话可以理解成：直线l与圆的半径OA垂直，OA⊥l，且垂足是A点，则，直线l是圆的切线。
证明如下：
使用反正法。（在下一节相信介绍一下反证法）。

文章插图
假设直线l与圆相交于A点，但又不是圆O的切线。那么直线l与圆O还有一个交点B（参考前面“直线与圆的三种位置关系”），点A和点B都在圆上，则OA=OB，
∵ OA⊥l，在直角三角形ΔOAB中，OA和AB都是直角边，
∴ 斜边OB>OA，这与假设条件推导出的结论OA=OB矛盾。
∴ 直线l是圆O的切线。
证明完毕。
切线性质：圆的切线垂直与经过切点的半径。
这个切线性质与切线判定是互逆的。

文章插图
以上可以理解成：直线l是圆O的切线，A为切点，则OA⊥l
证明如下：
使用反证法，如果OA不垂直直线l，则可以经过O点作直线l的垂线，垂足为点B，连接OB，则有直角三角形ΔOBA，OB和AB为直角边，OA为斜边，则OB<OA，∵OA为圆O半径，∴B在圆O内，
又 ∵ 点A，B都在直线l上，则直线l与圆必然有两个交点，与原命题给出的条件直线l是圆的O的切线（只有一个交点）相矛盾。
∴ 假设不成立，可得OA⊥l
证明完毕。
切线长和切线长定理
切线长的定义：
在经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段叫做这点到圆的切线长。

文章插图
经过圆O外一点A有两条切线，与圆O交B，C两点，AB和AC都是A点到圆O的切线长。切线长就是线段长。
以上很容易理解，但我们想过没有，为什么圆外A点到圆O必然会有两条切线？

直线和圆的位置关系及切线性质 直线与圆的位置关系切线问题

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