如何只用尺规快速作圆的内接正五边形如何用尺规作图作圆的内接正五边形 _小知识

在上篇文章中，我介绍二倍角三角形作图原理以及《几何原本》中用尺规作圆的内接正五边形的方法，不过圆的内接正五边形的作图过程有些繁琐。这篇文章，我将向大家介绍一种更简单的尺规作圆的内接正五边形的方法。
由于作图（圆的内接正五边形）过程需要用到二倍角三角形的作图原理，这里我还是先向大家介绍二倍角三角形的原理。
1、二倍角三角形的原理：
《几何原本》第四卷—命题10:作一个等腰三角形，使它的每个底角是顶角的二倍。

文章插图
证明:
1、任取一条线段AB，在AB上取一点C，使以AB和BC为边所构成的矩形面积等于以CA为边的正方形面积。（第2卷命题11）（具体作图方法及原理，详见我的文章《《几何原本》-几何代数的基本原理（2）-命题1~命题14》中的命题11的证明过程）
2、以A为圆心、AB为半径作圆BDE 。
3、作圆BDE的拟合线BD，使BD=AC 。（第4卷命题1）
4、连接AD和DC，作三角形ACD的外接圆ACD 。（第4卷命题5）
5、因为以AB和BC为边所构成的矩形面积等于以CA为边的正方形面积，AC=BD，所以以AB和BC为边所构成的矩形面积等于以BD为边的正方形面积，于是BD与圆ACD相切。（第3卷命题37）
6、因为BD与圆相切，DC是过切点D的圆的拟合线，所以角BDC等于相对弓形上的角DAC 。（第3卷命题32）
7、因为角BDC=角DAC，两边同时加上角CDA，所以角BDA=角CDA+角DAC 。
8、又因为外角BCD=角CDA+角DAC（第1卷命题32），所以角BDA=角BCD 。
9、又因为AB=AD，所以角BDA=角CBD 。（第1卷命题5）
10、所以角BCD=角CBD，于是DB=DC 。（第1卷命题6）
11、又因为BD=CA，所以DC=CA，所以角CDA=角CAD（第1卷命题5）
12、所以角CDA与角CAD的和是角DAC的二倍，又角BCD=角CDA+角CAD，于是角BCD是角DAC的二倍。
13、又因为角BCD=角BDA=角DBA，所以角BDA和角DBA都是角DAB的二倍。
14、所以等腰三角形ABD的底边BD上的每个角都是顶角的二倍。
证明完毕。
2、圆的内接正五边形的快速作图方法：
有了二倍角三角形作图原理的铺垫，我们便能只使用尺规快速作出圆的内接正五边形，以下是作图的方法：