用平抛运动知识推导向心加速度公式 _小知识

牛顿49、用平抛运动知识推导向心加速度公式

2002年7月，李贵和老师发表名为“向心加速度公式推导方法锦集”的文章。
…速、度、速度，加，加速度：见《伽利略3、4》…
（…《伽利略》：小说名…）
…公：见《欧几里得1》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…式、公式：见《欧几里得132》…
…推、导、推导：见《欧几里得7》…
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…

文章插图
文章内容：匀速圆周运动知识是中学物理中的重要内容之一，向心加速度的概念是其中的难点，难在物体的向心加速度是由于速度方向的变化而产生的（应为“向心加速度导致速度方向发生变化” 。“向心加速度”是因，“速度方向发生变化”是果），其方向始终与物体的速度方向垂直。
…匀速圆周运动：见《牛顿42》…
…知、识、知识：见《欧几里得5、6》…
…物、理、物理：见《欧几里得139》…
…内、容、内容：见《欧几里得66》…
…速、度、速度，加，加速度：见《伽利略3、4》…
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

对此，可在复习匀变速直线运动和抛物运动、以及物体做曲线运动的条件的基础上指出：
…变速直线运动：见《牛顿42》…
…抛物运动：见《牛顿43》…
…曲、线，运、动、运动，曲线运动：见《牛顿47、48》…

当物体的加速度方向与其速度方向相同时，只改变物体的速度大小，物体做直线运动；
当物体的加速度与其速度方向相反时，既可改变物体速度大小，也可改变其速度方向，但物体仍做直线运动；
当物体的加速度方向与速度方向成某一角度（不在同一直线上）时，物体的速度大小和方向可能同时发生变化，物体做曲线运动；
当加速度方向与速度方向垂直时，仅改变速度方向而不改变速度大小。

既然圆周运动是曲线运动，就一定具有一个与速度不在同一直线上的加速度，又由于匀速圆周运动的速度大小不变、仅方向改变，因此它的加速度必然与速度垂直且指向圆心，所以叫做向心加速度。

关于向心加速度的推导方法，除了课本上所讲的之外，笔者研究发现推导向心加速度公式的方法非常多。这些方法既可开拓学生思路，提高学生分析问题、解决问题的能力，又可供同行教学时参考。
…研、究、研究：见《欧几里得42》…
…分、析、分析：见《欧几里得36》…

一、运用平抛运动知识推导

这类方法是将物体在时间Δt内的圆周运动，分解成沿圆周切线方向的匀速直线运动和沿半径方向的初速为0的匀加速直线运动，类似于平抛运动。
…△：读音是“德尔塔” 。音标为/delt?/ 。
在物理学中，△常常作为变量的前缀使用，表示该变量的变化量，如：△t（时间变化量）、△T（温度变化量）、△X（位移变化量）、△v（速度变化量）等等…见《牛顿8》…

1.如图所示，物体以速率v做匀速圆周运动。
在时间△t内，由A点移动到B点。
如果物体位于A点时，绳子的拉力作用消失，则物体将沿切线方向做匀速直线运动。
…切、线、切线：见《牛顿47》…
但实际上，物体在△t时间内沿圆周运动到B点，这是由于物体还受到向心力作用。
…向、向心力：见《牛顿20、21》…
…作、用、作用：见《欧几里得68》…

文章插图

由于弧AB=v△t（路程=速度×时间），当△t很小时，有AB≈弧AB=v△t，而AE=1/2·a·△t^2（a为物体在A点的加速度）。
…^：乘方…
…△t^2：△t的平方…
…AE=1/2·a·△t^2：匀加速直线运动路程公式s=v0t+at2/2
v0=0时，s=at2/2…见《牛顿42》的“匀变速直线运动”…

由平面几何知识得：AB^2=AE·AC，而AC=2R，可得：
（v△t）^2=1/2·a·△t^2·2R
…AB^2=AE·AC：如下图所示
∵ ∠1=∠1=90°；∠A=∠A
∴ △ABC~△AEB （两角相等的两个三角形相似）
∴ AB/AE=AC/AB
∴ AB^2=AE·AC…

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整理得：a=v^2/R