偶然翻看到尘封已久的笔记,看到了海伦公式,灵光一闪:多边形的面积公式?于是开启了数日的苦苦思考,想起了匆匆那年;想起了那些年暗恋的女孩;想起了… 。在多次被虐、哭晕在厕所后,终于有了些许思路,所以赶紧整理分享出来 。
三角形面积
如果三角形ABC对应的三条边长为a、b、c,那么三角形的面积如何求呢?
三角形是一个稳定的结构,三条边一旦确定,其面积也随之确定;那三角形的面积是否能用其边长的解析式表示呢?
解:余弦定理:
代入
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其中,
。
这个公式就是鼎鼎大名的“海伦公式” 。
四边形面积
继续上面“求三角形面积”的思路:边长为a、b、c、d的四边形面积又是什么解析式呢?
分析:与三角形不同的是,四边形是不稳定的(四个边确定后,四边形不唯一,其面积当然也不唯一);但是这个面积是有上限的、有限的,那这个面积应该会有一个最大值;接下来我们找出这个最值的解 。
解:连接B和D
,记
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使用海伦公式,四边形面积
令
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。由柯西不等式(可参考文末备注):
当且仅当
时,等号成立 。
即
同理,设
,可得当
时,四边形面积最大 。
两个等式,两边相乘得:
。根据托勒密逆定理,这表示当四边形内接于圆时,取到最大面积,最大面积为
其中
。
一般的N边形?
问题:对于给定边长a1、a2、a3、...、an的n边形,其最大面积是否能够使用其边长解析表达?
- 边长给定的一切多边形中,存在可内接于圆的多边形 。
- 最大面积是存在的,这就是克拉美定理 。
- 由此可以确定这个圆的半径也是确定的,和边长什么关系呢?
附录
柯西不等式:
最常见的一种形式:
- 柯西不等式的使用范围很广,形式多样,是一非常重要的工具
- 论证方法很多,你可以尝试归纳
托勒密定理:
圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和 。逆定理也成立 。
- 四边形内接于圆的充要条件为:两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和 。
克拉美定理:给定边长
的一切n边形中,能内接于圆的面积最大 。欲知多边形可内接于圆和克拉美定理的论证,以及多边形最大面积公式,且听下回分解 。
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