学习欧拉吧，在任何意义上，他都是我们所有人的大师( 二 ) _小知识

在 18 世纪 30 年代期间，欧拉著作颇丰，他不仅在数论上取得了实质性的进展，在级数求和、力学领域也颇有成效。期间，他还担任俄国政府的科学顾问——为政府测绘地图，为俄罗斯海军提供建议，消防设备的设计审定，并为俄罗斯的学校编撰教科书。
欧拉终其一生致力于数论的研究。1729年12月，他收到了同事克里斯蒂安·哥德巴赫(Christian Goldbach)的来信，其最有名的就是尚未证实的哥德巴赫猜想。哥德巴赫在来信中提出了如下猜想：任何大于 2 的偶数都可写成两个质数之和。例如：
20=13+7，30=11+19
哥德巴赫在信中还提到了费马数，即形如这样的数

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例如，当 n=0,1,2,3,4 时，我们分别得到质数 3,5,17,257,65537 。那么所有这样形式的数都是质数吗？
费马猜想它们都是，并宣称找到了一个生成质数的公式。但遗憾的是，欧拉在 1732年就发现下一个数 2^32+1 是一个可以被 641 整除的十位数。自那以后，再无其它费马数被证明是质数，因此费马的这个猜想并不成立。
欧拉惊人的计算能力也是一个传奇。传说某天，欧拉的两个学生试图对一个复杂的收敛级数进行求和，但算到小数点后第 50 位上时两人的计算结果出现了分歧，欧拉只通过心算便得到了做出了正确地判断。欧拉诸如此类的惊人心算能力使法国数学家、物理学家弗朗索瓦·阿拉戈也不免为之惊呼：
“欧拉计算时显得毫不费力,就像人在呼吸或者鹰在风中保持平衡一样。”
欧拉面临的另一项挑战是找到四个不同的数字，使任意二者之和都等于一个完全平方数。而欧拉成功地找到了它们，分别是：18530，38114，45986 和 65570，比如下面几个示例：

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在18世纪30年代，欧拉还研究无穷级数。例如，他对发散的调和级数产生了兴趣。

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如果我们只看该级数的前 n 项，会发现它们的总和接近 ln(n)——实际上，正如欧拉所证，随着 n 变大，前 n 项之和与 ln(n) 的差越来越接近一个固定数，而这个奇妙的数如今被称为欧拉-马斯克若尼常数，它的值约为 0.5772... 。但是我们对它的了解甚少，甚至不知道它是否是一个有理数。
另一个在当时难倒了许多数学家的问题是巴塞尔问题，即精确计算所有完全平方数的倒数的和，也就是如下级数之和：

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欧拉早期的成就之一就是在他 28 岁(1735 年)就推导出了这个级数之和为，真正严密的证明在1741年发表。之后，他将计算推广到求所有 4 次方数，6 次方数...直至 26 次方数的倒数之和，这为后来的黎曼函数奠定了基础。
接下来，让我们看一个欧拉在 1735 年解决的趣味谜题：哥尼斯堡七桥问题。中世纪城市哥尼斯堡由四个区域构成，通过七座桥相连，问题是：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。欧拉将其转化为一个几何问题，通过对桥和陆地的连接点进行计数，证明了该走法不存在。

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▲ 哥尼斯堡七桥问题(图自维基)
戈特弗里德·莱布尼茨(Leibniz)就曾在 1679 年在给荷兰物理学家、数学家惠更斯(Christiaan Huygens)的信中提到，希望得到一种不涉及长度、距离和角度等度量概念的"位置分析"几何方法，而欧拉就是找到这样一种方法来解决“七桥问题” 。现在，我们将其称为“拓扑学”或“橡皮几何学”——如果我们在橡皮上绘制地图并将其拉伸，就发生了类似的拓扑变换。
1736年，欧拉向维也纳宫廷天文学家乔凡尼·马里诺尼(Giovanni Marinoni)写了一封信，描述他对这个问题的看法：“虽然这个问题十分乏味，但在我看来，值得注意的是几何、代数甚至计数法都不足以解决这个问题。鉴于此，我想知道它是否属于曾让莱布尼茨兴趣盎然的位置几何学范畴。因此，经过认真思考，我得到了一种简单但完全成立的规则，借助该规则可以快速解决所有这类‘一笔画’问题。”
欧拉对哥尼斯堡七桥问题的解决方案被认为是对图论的最早贡献，如今，‘一笔画’问题已可以通过观察“节点”(代表陆地)和“边”(代表桥梁)构成的网络来解决了。但这并非由欧拉设计得到——用以表示这一谜题的网络直至150年后才真正诞生。