四维空间：高维生物的快乐你真的想象不到吗( 三 ) _空间

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（三维的立方体）
为了使立方体变成四维的，我们要复制一个立方体，然后将这两个立方体的顶点用另一种颜色的吸管（比如黄色）连接起来，这种颜色就代表第四个方向。这个模型和我们向平星人展示的立方体类似。
在我们展示三维立方体时，第二个正方形本该被抬离二维平面变成三维，但是我们把它压到了第一个正方形的旁边。
在这里，第二立方体本该被抬离我们的三维曲面，进入第四维，但是我们让它落在第一个立方体的旁边。
这个模型是一个完整的四维立方体，只不过为了适应我们可怜的三维世界，被压平了。

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（四维超立方体）
平面版的三维立方体形状和立方体的投影相同。如果我们利用光将三维立方体投影到一个平面上，就能看到它的二维投影，而这正是平星人看到的三维世界。
仁慈的四维生物也可以用同样的方式将四维图形进行投影，向我们展示它的三维投影：你制作的四维吸管立方体模型便是四维立方体的一个三维投影。
不过我们还可以通过另一种方式得到投影：引入透视。如果将三维立方体的第二个正方形缩小一点，使其悬浮在第一个正方形内部，便可得到立方体的平面投影，边与边之间不会相交。

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同样，我们也可以将四维立方体的第二个三维立方体做小一些，使其悬浮在第一个立方体内部，从而获得四维立方体在三维空间的投影，面与面之间不会相交。
是不是有似曾相识的感觉？你在这之前确实见过类似的四维立方体——立方体状肥皂泡。当时你已经在不经意间用肥皂膜做出了一个四维立方体的三维投影。
除了通过透视来研究高维图形，我们还可以通过研究旋转立方体的投影。
为了获得旋转三维立方体的二维投影，将其中一组相对的面染上颜色，将其他4个相邻的面留白，这样可以帮助我们跟踪立方体的旋转。

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（加入些许透视，便可避免图形的自相交）
我们还可以利用这个旋转的投影向平星人展示三维立方体。虽然立方体在平星人二维宇宙旁边的三维空间旋转，但平星人能够通过正方形的投影做出判断。
影子越来越大，表明正方体正在向它们靠近；反之，投影越来越小，表明正方体正在远离它们。
不幸的是，在它们看来，两个正方形不断穿过对方。所有的解释都无法让平星人看到这两个正方形在更高的维度中没有相交，而是处于前后不同的位置。

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（旋转三维立方体的二维投影和旋转四维立方体的三维投影，上下两张图同时转完半圈）
同样，我们也可以将旋转的四维立方体投影到三维世界。我们仍然将其中一组相对的立方体染色，起连接作用的其他立方体则是透明的。
当这个四维立方体在我们的三维宇宙之外旋转时，每个立方体离我们更近时都会变大，离我们更远时都会变小。
遗憾的是，和平星人一样，在我们看来，这两个方体不断相交，但实际上，这两个立方体在四维空间中属于前后的关系，只是我们无法看到这一点。
当三维立方体的一个二维面刚好与影子所在的二维平面垂直时，它的投影会短暂地消失。

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（一个没有复原的四维魔方）
同样，当四维立方体的一个三维立方体恰好与我们的三维宇宙垂直时，它也会从我们的视线中短暂消失。
不可思议的第四维度！
如果你想自己试着转一转四维立方体，我建议你尝试研究四维魔方（Rubik’s Cube）。
三维魔方需要将颜色相同的二维色块移动到三维立方体的同一个二维面上，但四维魔方有些不同，你需要将颜色相同的三维色块移动到四维立方体的同一个三维面上。

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你无法直接变换四维立方体，但是你可以通过拖拽四维魔方的三维投影来间接地进行变换，这种魔方可以在网上找到。
玩的时候你脑子会特别晕，因为三维投影可以在我们熟悉的三个方向上运动，但四维立方体还能在第四个正交（orthogonal，即交角为直角）的方向上旋转（网站上是通过按住shift键实现的）。