随机性有时也能让数学更容易 _小知识

随机性似乎使得数学命题的证明更困难。但实际上，经常会让事情更容易。

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在数学家可用的所有工具当中，随机性似乎没什么用处。数学具有逻辑性和严谨性，它主要的目标是在浩瀚的对象“海洋”中寻找秩序和结构。正是因为数学世界不是随机的，整个数学宏伟目标才有可能实现。
然而，最近《量子》杂志的一篇文章《随机表面隐藏着错综复杂的秩序》（Random Surfaces Hide an Intricate Orde）涉及到了一个新的证明。在这个证明中，随机性使得一切变得不同。证明结果还包括到在随机构建的几何空间上绘制的棋盘样图案。该证明的作者发现，几何空间中的随机性使棋盘样的图案更容易描述。巴黎第十一大学数学家、该论文合著者尼古拉斯·库里安(Nicolas Curien)也说道，“令人惊讶的是，引入随机性能让你做更多的事情” 。
事实证明，随机性在很多方面对数学有帮助。
例如，数学家通常想要证明具有某种性质的对象存在，例如具有某种对称性的几何体。要解决这些存在性问题，最直接的方法是寻找一个具有对应性质的对象，但这需要一些运气。“我们很难展示出一个具有相关属性的特定对象”，菲尔兹奖获得者马丁海雷尔如是说道，他的领域涉及随机过程。
抽象概念可以引导一些在科学和数学中有潜力的想法。下面与我们一起来看看吧。
如果一个问题不太可能直接解决，那么人们可能用间接的方式尝试间接解决。例如，如果您在考虑某一类型的对象的存在性，你可以这样思考: 随机选择其中一个对象，则选中一个具备所需性质的对象的可能性要大于0 。这种“概率方法”是数学家保罗·埃尔德什（Paul Erd?s）开创的。
随机性也可以用来寻找非随机的固定路径。最近关于网格上棋盘式图案的证明就是这种情况。研究人员对一种叫做渗流模型的过程感兴趣。在这个过程中，您想知道如果仅在一种颜色的点上移动，那么观察点在什么条件下可以从网格的一侧移动到另一侧。
当你根据确定性的规则——沿着规则网格的严格确定的线——绘制这样的路径时，路径中后续的每一步都被之前的每一步所约束。对于一个复杂的网格，此要求是一个负担。这类似于俄罗斯方块拼图中的前几块比较容易放置，您可以把它们放在任何您想放的地方，但之后方块的放置就难很多，因为它们必须符合您已经放置的所有方块。
然而，当您的路径随机进行时，您不必担心您过去走过的每一步。从某种意义上说，每一步都像第一步一样自由：只要掷硬币决定下一步去哪里。
数学家试图利用这个事实。用一种叫做被称为KPZ公式的推导关系，将随机网格的结果转换为确定性的结果，反之亦然。“在这样的理论下，这意味着你可以随意在确定环境下计算或者在随机环境下计算”，布兰迪斯大学数学家、论文合著者奥利维耶·伯纳迪如是说道。这一新的工作与以前（更难证明的）关于在规则网格上渗流的结果是一致的，这也使KPZ公式得到了验证。
如果一个数学问题比较简单，那数学家可能不需要使用随机性。但对数学家而言，大多数重要的数学问题都很难直接回答了。“这可能是显而易见的，但我还是重申一下，在大多数情况下，对于数学或理论物理方面的问题，如果不借助一些工具，直接回答是不可能的” 。纽约大学数学家保罗·布尔加德（Paul Bourgade）如是说道。“我们只是没有解决问题的工具” 。在某些情况下，随机性使事情变得更松散，足以问题的解决成为可能。
【随机性有时也能让数学更容易】