陶哲轩宣布破解埃尔德什差异问题 _小知识

小编来今天给同学们带来的趣味数学故事是：陶哲轩宣布破解埃尔德什差异问题。
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故事适合年级：小学【陶哲轩宣布破解埃尔德什差异问题】趣味小故事： 2015年9月17日，2006年菲尔茨奖得主、华裔数学家陶哲轩宣布破解了80年未决的埃尔德什差异问题(the Erdos Discrepancy Problem)，论文预印本已经发表在arXiv.org上。
埃尔德什差异问题由数学家保罗·埃尔德什(Paul Erd?s)在1932年提出，指的是在任意只由1和-1组成的无限数列中，能找到项与项间等距的有限子列，使子列各项之和的绝对值大于一个任意大的常数C 。和许多数论问题一样，埃尔德什差异问题描述起来很简单，但证明难度却很大。埃尔德什于1996年去世，没能看到这一问题的证明。
直觉上看，对有些数列而言，这个问题的答案非常简单——在只有1的数列中，把各项加起来一定能得到任意大的数;对无限数列(-1，1，-1，1，-1，1,...)来说，要找到一个各项之和大于2、而且间隔固定的子数列，取第二位和第四位就行;要找到各项之和大于4的子数列，可以取第二位、第四位、第六位、第八位;无论多大的数，都能在(-1，1，-1，1，-1，1)中找到加起来等于这个数的子数列。但埃尔德什的猜想是，无论这些正负1怎么排，这个结论都成立：给出一个任意大的常数，就能找到这样的数列。
这到底是什么意思呢?假设你和你的朋友玩一个抛硬币游戏。掷出正面，你往左走一步。掷出反面，你往右走一步。你知道他在硬币上做了手脚，出来正面还是反面，随心所欲他说了算。
但你也有杀手锏：你可以忽略某些硬币的结果——只不过不能瞎忽略，而是有规矩：每过固定数量的硬币就有一个算数，剩下的全不算。具体隔几个，你在结束的时候说了算。埃尔德什猜想的意义在于，虽然你最后往左还是往右你说了不算，但是你想离出发点多远，就能有多远。
陶哲轩的证明说明了埃尔德什的猜想是对的，但他并没有给出计算这个数值的方法(也就是说，具体怎么挑还不知道，但这个杀手锏是存在的) 。虽然他的证明还没有经过严格的同行评议，但数学家们对他的结果很有信心。“我绝对相信他的结果，”以色列希伯来大学的数学家吉尔·卡莱(Gil Kalai)这样说道，但他随后补充道评议可能需要花上一些时间。
数学家们最近一次向这个问题发起挑战的行动始于2009年12月，并在2010年组建起了团队。来自剑桥大学的数学家蒂莫西·高尔(Timothy Gowers)建议用“博学项目”(Polymath Project)解决问题——一个数学家合作的在线平台(译注：Polymath Project还参与过对张益唐孪生素数结果的改进，详情请见《孪生素数猜想之后的故事》) 。陶哲轩是几十位参与者之一。
这次合作在2012年告一段落，但数学家们证明了只要能证明埃尔德什猜想对一类数列成立，就能推广到普遍情况。这种数列是这样的：在质数项，数值是随机的，但其他项的数值是它的质数因子项上的数值的积。比如说，第十五项的数值是第三项和第五项的积。
2014年2月，研究人员们用计算机证明了埃尔德什问题的一个特殊情况——子列的和一定能大于2，但没能证明一定能大于3. 陶哲轩的证明说明了这个和一定能大于任意大的有限数。
这个证明发表后，数学家们很长一段时间来都没能取得新的进展。就在这个月初，陶哲轩在博客收到了一条评论，提醒他他正在研究的另一个问题可能与埃尔德什猜想有关。“一开始，我觉得这两个问题之间的联系只是表面的，”陶哲轩在一封电子邮件中这样写道;但他很快意识到，将新思路和之前的结果结合在一起，很可能得到问题的证明。不到两周后，他就发表了论文，并在致谢中感谢了这位评论者——图宾根大学的数学博士尤威·斯特罗斯基(Uwe Stroinski) 。
陶哲轩把论文发表在了高尔管理的开源期刊《离散分析》上。《离散期刊》是9月初创刊的，它提供传统的同行评议，但由于只接受已经发表在arXiv上的论文，避免了大量的发行成本。“蒂姆(译注：指前文中的数学家蒂莫西·高尔)的期刊是对论文完全开源出版的一次前景大好的实验。”陶哲轩说。

文章插图
埃尔德什和十岁的陶哲轩一起研究数学问题。