解密九连环与格雷码 _小知识

小编来今天给同学们带来的趣味数学故事是：解密九连环与格雷码。
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故事适合年级：小学【解密九连环与格雷码】趣味小故事：如何让小学生学会用数学的思维方式去观察和分析生活，如何帮助他们更好地学好数学这门学科呢?求学网数学网小学频道精心准备了九连环与格雷码的解密，希望对大家有所帮助!
分析解九连环的完全记法，由于每次只动一个环，故两步的表示也只有一个数字不同。下面以五个环为例分析。左边起第一列的五位数是5个环的状态，依次由第一环到第五环。第二列是把这个表示反转次序的五位数，似乎是二进制数，但是与第四列比较就可以看出这不是步数的二进制数表示。
第三列是从初始状态到这个状态所用的步数。最右边一列才是步数的二进制表示。
00000-00000-0-00000
10000-00001-1-00001
11000-00011-2-00010
01000-00010-3-00011
01100-00110-4-00100
11100-00111-5-00101
10100-00101-6-00110
00100-00100-7-00111
00110-01100-8-01000
10110-01101-9-01001
11110-01111-10-01010
01110-01110-11-01011
01010-01010-12-01100
11010-01011-13-01101
10010-01001-14-01110
00010-01000-15-01111
00011-11000-16-10000
10011-11001-17-10001
11011-11011-18-10010
01011-11010-19-10011
01111-11110-20-10100
11111-11111-21-10101
我们发现，右边一列数恰好是十进制数0到21的二进制数的格雷码! 这当然需要21步。如果把5位二进制数依次写完，就是
10111-11101-22-10110
00111-11100-23-10111
00101-10100-24-11000
10101-10101-25-11001
11101-10111-26-11010
01101-10110-27-11011
01001-10010-28-11100
11001-10011-29-11101
10001-10001-30-11110
00001-10000-31-11111
这说明，对于只有5个环的五连环，从初始到状态11111用的不是并不是最多，到状态00001才是最多，用31步。类似，对于九连环，从初始到状态111111111用的不是并不是最多，到状态000000001才是最多，用511步。由于格雷码111111111表示二进制数101010101 ，表示十进制数341 ，故从初始状态到9个环全部上去用341步。这就是九连环中蕴涵的数学内涵。
注由二进制数转换为格雷码：从右到左检查，如果某一数字左边是0 ，该数字不变;如果是1 ，该数字改变(0变为1 ， 1变为0) 。例，二进制数11011的格雷码是10110.
由格雷码表示变为二进制数：从右到左检查，如果某一数字的左边数字和是偶数，该数字不变;如果是奇数，该数字改变。
例格雷码11011表示为二进制数是10010.
以上可以用口诀帮助记忆：2G一改零不改， G2奇变偶不变。
例设九连环的初始状态是110100110 ，要求终止状态是001001111 ，简单解法与完整解法各需要多少步?过程如何?
解初始状态110100110 ，格雷码是011001011 ，转换为二进制数是010001101 ，相应十进制数是141.终止状态是001001111 ，格雷码是111100100 ，转换为二进制数是101000111 ，相应十进制数是327.二者差326-141=186 ，完整解法需要186步。
简单解法步数，我们由141 ， 327分别求相应的简单步数，
对于N=141 ，得到N0=103;对于N=327 ， N0=242.二者差139 ，故简单步数139.这个结果很容易在九连环电脑游戏上验证。
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