贝祖数什么意思？教你搞懂代数几何发展史 _几何

贝祖数什么意思？贝祖定理：在数论中，贝祖定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理：若a，b是整数，且（a,b)=d，那么对于任意的整数x，y，ax+by=m中的m一定是d的倍数。贝祖定理的推论：特别地，一定存在整数x，y，使ax+by=d成立，且不止一组，例如(12,42)=6，则方程12x + 42y = 6有解，事实上有(-3)×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1)×42 = 6 。而ax+by=1是a，b两数互质的充要条件，同样地，x，y不止一组。贝祖数：满足贝祖定理要求的任意整数x、y即为贝祖数。例如上例中的（-13，1）和（4，-1）。贝祖数不止一组。
代数几何发展史按照俄国数学家沙法列维奇的观点，代数几何在20世纪现代数学的发展历史中占据着一个相对中心的位置。抽象代数、代数拓扑与微分拓扑、整体微分几何以及分析学中的许多重要理论都是因代数几何研究的需要而提出的。我们不妨可以简单地将代数几何看成是“用多项式研究几何、用几何的想法研究多项式”的学科。特别是从代数几何中体现出来的代数与几何相互作用的方式，具有普遍的意义，目前这种思想方法已经渗透到了几乎所有的现代数学各主要分支学科中。
本文作者陈跃，原文题目《什么是代数几何》，因文章长度限制将文章分成两部分：
第1部分《一文搞懂代数几何发展史（一）》为20世纪早期及以前的很长一段时间内数学家们对代数簇的深入研究；
第2部分《一文搞懂代数几何发展史（二）》讲述从将抽象代数方法引入代数几何到概形理论的创立这一时期的发现情况。
欢迎品鉴，一文搞懂代数几何发展史。
按照俄国数学家沙法列维奇的观点，代数几何在20世纪现代数学的发展历史中占据着一个相对中心的位置。抽象代数、代数拓扑与微分拓扑、整体微分几何以及分析学中的许多重要理论都是因代数几何研究的需要而提出的。在大多数20世纪基础数学重大进步（例如获得菲尔茨奖和沃尔夫奖的工作）的背后，总能看到代数几何的影子。例如获得沃尔夫奖的陈省身与丘成桐两位先生最重要的工作就与代数几何密切相关：陈（省身）示性类被深刻地推广与运用到代数几何中，而著名的卡拉比-丘（成桐）流形则是目前代数几何中最热门的研究对象之一。本文将简要回顾代数几何的发展历史，从中可以帮助我们了解这个颇为神奇的数学分支学科。

一、在19世纪之前的探索简单来说，代数几何的主要研究对象是“代数簇”(algebraic variety)，最简单的代数簇(也称为仿射代数簇)是一组多元多项式的零点集合。对代数簇的研究实际上从古代希腊就开始了，两千年前的古希腊数学家们所熟悉的直线、圆、圆锥曲线、三次曲线等代数曲线和平面、球面、柱面和二次曲面等代数曲面都属于只用一个多项式来确定的代数簇。在没有直角坐标系的条件下，阿波罗尼乌斯(Apollonius)运用在今天看来很笨拙的综合几何方法对圆锥曲线作了十分详尽的研究，发现了它的许多性质。到了近代法国数学家笛卡尔(Descartes)和费马(Fermat)能够用解析几何方法来研究任意代数曲线方程的时候，事情就发生了质的飞跃。古代希腊数学家由于没有代数工具，他们只能局限于研究低次代数方程所表示的曲线或曲面，而有了解析几何之后，在理论上就可以讨论任意次数的代数曲线或曲面，从而就可以把所有的几何问题都转化为代数问题来解决。费马还证明了所有非退化的二次曲线都是圆锥曲线。微积分的发明者之一、数学家牛顿对三次平面曲线进行了初步的分类(共有72种)，而欧拉(Euler)则对所有的二次曲面进行了分类。

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图1：笛卡尔
在17世纪时，德沙格(Desargues)通过研究画家的透视方法而形成了射影对应的概念，他还引进了无穷远点的概念。在普通的欧氏平面和空间中加入了无穷远点后，就得到了紧致的射影平面和射影空间，它们是许多经典代数簇所在的空间。另一方面，欧拉的虚数概念的引入也完成了代数方面的“封闭化”，由此可以简化数学命题的叙述。例如在射影平面中，非退化的二次曲线只有一种(在普通欧氏平面中要分为椭圆、双曲线和抛物线这三种曲线)，并且三次曲线不是牛顿所分的72种，而是只有三种曲线。

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图2：牛顿
牛顿和莱布尼茨(Leibniz)还用所谓的“消去法”得到了确定两条代数曲线相交点的方程组(即大学高等代数课本中的“结式”方程组) 。在此基础上，数学家贝祖(Bézout)证明了著名的贝祖定理：设C和C’是次数分别为m和n的平面射影复曲线，则C和C’相交于mn个点(计入重数) 。例如从表面上看，复射影平面内的一条直线与一条抛物线的相交情形一共有四种：交于两点、交于一点、相切与无交点。但其实直线与抛物线交于一点时，它们还相交于抛物线上的无穷远点，而相切可以理解成它们相交于两个重合在一起的点，至于不相交的情形，则可以看成是它们相交于复平面上的两个被称为“圆点”的虚的无穷远点。这样，一次的直线与二次的抛物线在复射影平面上总有1×2＝2个交点。又如一个椭圆与一条三次曲线总是相交于2×3＝6个交点等等。贝祖定理实际上是代数几何中一个重要小分支——相交理论的起点。